Reeller Sinus/Potenzen/Erstes Viertel/Konvexitätsintervalle/Aufgabe/Lösung

Bei ${}n=1$ ist die zweite Ableitung ${}-\sin x$ im Innern des angegebenen Intervalls negativ, also ist der Sinus dort nach Fakt eine konkave Funktion. Es sei ${}n\geq 2$ und ${}f(x)=\sin ^{n}x$. Die Ableitung ist

${}f'(x)=n\sin ^{n-1}x\cos x\,$

und die zweite Ableitung ist

${}{\begin{aligned}f^{\prime \prime }(x)&=n(n-1)\sin ^{n-2}x\cos ^{2}x-n\sin ^{n-1}x\sin x\\&=n\sin ^{n-2}x{\left((n-1)\cos ^{2}x-\sin ^{2}x\right)}\\&=n\sin ^{n-2}x{\left(n\cos ^{2}x-1\right)}.\end{aligned}}$

Der Faktor vorne ist im Innern des Intervalls positiv, also müssen wir nur den zweiten Faktor untersuchen. Es ist

${}n\cos ^{2}x-1\geq 0\,$

genau dann, wenn

${}\cos x\geq {\sqrt {\frac {1}{n}}}\,$

ist. Für ${}x\leq \arccos {\sqrt {\frac {1}{n}}}$ ist ${}\sin ^{n}x$ also konvex und für ${}x\geq \arccos {\sqrt {\frac {1}{n}}}$ ist ${}\sin ^{n}x$ konkav. Bei ${}x=\arccos {\sqrt {\frac {1}{n}}}$

liegt der Wendepunkt vor.

Zur gelösten Aufgabe