Reellwertige Funktion/Partielle Ableitungen/Hesse-Matrix/Definitheit und Extema/Bemerkung

Zu einer Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

interessiert man sich, wie schon im Fall ${}n=1$, für die lokalen Extrema der Funktion, zum Beispiel Maxima, also Punkte ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$ mit der Eigenschaft, dass in einer kleinen Umgebung davon alle Funktionswerte kleinergleich ${}f(P)$ sind. Bei ${}n=2$ handelt es sich um Gipfel des durch ${}f$ beschriebenen Gebirges über der Grundebene. Wenn die Funktion zweimal stetig differenzierbar ist, so gibt es wie im eindimensionalen notwendige und hinreichende differentielle Kriterien für die Existenz von lokalen Maxima und Minima. Das notwendige Kriterium ist, dass ${}P$ ein kritischer Punkt ist, was bedeutet, dass die partiellen Ableitungen ${}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(P)$ für ${}i=1,\ldots ,n$ gleich ${}0$ sind. In diesem Fall betrachtet man die zweiten partiellen Ableitungen und fasst sie in der sogenannten Hesse-Matrix

${\left({\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(P)\right)}_{ij}$

zusammen. Die zugehörige symmetrische Bilinearform entscheidet darüber, ob ein lokales Maximum oder ein lokales Minimum vorliegt. Wenn sie positiv definit ist, so liegt ein isoliertes lokales Minimum vor, wenn sie negativ definit ist, so liegt ein isoliertes lokales Maximum vor, wenn sie indefinit ist, so liegt kein lokales Extremum vor. In den verbleibenden Fällen, also beispielsweise bei der Nullmatrix, braucht man weitere Überlegungen.