Regulär berandetes ebenes Gebiet/Satz von Green/Für Gradientenfeld/Bemerkung

Für ein stetig differenzierbares Gradientenfeld ${}F$ ist (nach Fakt)

${}{\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}(x,y)-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}(x,y)=0\,,$

sodass das Flächenintegral im Satz von Green gleich ${}0$ ist. Daher muss das Wegintegral ebenfalls ${}0$ sein, was schon in Fakt gezeigt wurde (und auch in höheren Dimensionen gilt).