Reine Gleichung über K/Capelli/Grad 2 oder 3/Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}a\in K$ und ${}n\in \mathbb {N}$ derart, dass ${}X^{n}-a$ irreduzibel ist. Dann ist ${}K\subseteq K[X]/(X^{n}-a)$ nach Fakt und nach Fakt eine ${}\mathbb {Z} /(n)$-graduierte Körpererweiterung.

Eine notwendige Voraussetzung für die Irreduzibilität von ${}X^{n}-a$ ist, dass ${}a$ in ${}K$ keine ${}n$-te Wurzel besitzt, da sonst das Polynom sofort einen Linearfaktor besitzt. Bei ${}n=2$ oder ${}n=3$ ist diese Bedingung auch hinreichend. Bei ${}n=2$ und wenn die Charakteristik von ${}K$ nicht gleich ${}2$ ist, so ist ${}1\neq -1$ und der nichttriviale Charakter

$\chi \colon D=\mathbb {Z} /(2)\longrightarrow K^{\times }$

mit ${}\chi (0)=1$ und ${}\chi (1)=-1$ definiert über Fakt den nichttrivialen ${}K$-Körperautomorphismus mit ${}x\mapsto -x$ (wobei ${}x$ die Restklasse von ${}X$ sei), also die Konjugation in der quadratischen Körpererweiterung ${}K\subseteq K[X]/(X^{2}-a)$.