Reine Körpererweiterung/Q(dritte Wurzel a), a prim/Keine Galoiserweiterung/Aufgabe/Lösung

Nach dem Lemma von Eisenstein (angewendet mit der Primzahl ${}a$) ist das Polynom ${}X^{3}-a$ irreduzibel über ${}\mathbb {Q}$, und daher ist

$\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{a}}]=\mathbb {Q} [X]/(X^{3}-a)=L$

eine Körpererweiterung vom Grad ${}3$. Wir zeigen, dass diese Körpererweiterung nicht normal ist, woraus nach Fakt folgt, dass sie keine Galoiserweiterung ist. Nehmen wir an, dass ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ normal ist. Das Polynom ${}X^{3}-a$ besitzt in ${}L$ die Restklasse ${}x$ von ${}X$ als Nullstelle. Wegen der Normalität muss das Polynom über ${}L$ vollständig in Linearfaktoren zerfallen, d.h. die anderen Nullstellen (aus ${}{\mathbb {C} }$) des Polynoms müssen ebenfalls zu ${}L$ gehören. Die anderen Nullstellen sind ${}\zeta \cdot x$ mit einer dritten Einheitswurzel ${}\zeta \neq 1$. Aus ${}x,\zeta \cdot x\in L$ folgt aber sofort, dass ${}\zeta \in L$ ist, d.h. ${}L$ enthält die dritten Einheitswurzeln. Die dritten Einheitswurzeln erzeugen eine Körpererweiterung ${}K_{3}$ vom Grad ${}2$ über ${}\mathbb {Q}$. Daher widerspricht die Inklusion ${}\mathbb {Q} \subseteq K_{3}\subseteq L$ der Gradformel.

Zur gelösten Aufgabe