Reine kubische reelle Gleichung/Zerfällungsverhalten/Aufgabe/Lösung


Da keine dritte Wurzel in besitzt, ist das Polynom in irreduzibel. Daher ist

eine Körpererweiterung vom Grad drei. Es sei die eindeutig bestimmte reelle dritte Wurzel aus . Durch die Zuordnung können wir als Unterkörper von auffassen. In (und in ) hat das Polynom die Zerlegung

Da es in nur eine dritte Wurzel gibt, und da keine Nullstelle des rechten Faktors ist, ist das Polynom

über und erst recht über irreduzibel. Von daher ist nicht der Zerfällungskörper. In der quadratischen Erweiterung

zerfällt das Polynom und damit auch in Linearfaktoren. Der Grad des Zerfällungskörpers ist also nach der Gradformel gleich .

Um eine Realisierung des Zerfällungskörpers in zu erhalten, betrachten wir

Die Lösungen dazu sind in gleich

Daher ist der Zerfällungskörper gleich