Relationssymbole/Interpretation/Substitution/Lineare Unabhängigkeit/Aufgabe

Es sei ${}L^{S}$ die prädikatenlogische Sprache, die neben Variablen aus einem zweistelligen Relationssymbol ${}A$ und einem dreistelligen Relationssymbol ${}B$ bestehe. Wir betrachten ${}S$-Interpretationen ${}I$, wobei die Grundmenge jeweils aus einem Vektorraum ${}V$ über einem Körper ${}K$ bestehe und ${}A$ als die lineare Unabhängigkeit von zwei und ${}B$ als die lineare Unabhängigkeit von drei Vektoren interpretiert werde.

1. Zeige

   $I\vDash Bxyz\rightarrow Axy.$

2. Gilt

   $I\vDash Axy\wedge Axz\wedge Ayz\rightarrow Bxyz$

   für einen beliebigen Vektorraum?

3. Gibt es Vektorräume, für die die Aussage in Teil 2 gilt?
4. Es sei ${}V=\mathbb {R} ^{3}$ und ${}e_{1},e_{2},e_{3}$ sei die Standardbasis. Gilt

   $I{\frac {e_{1},e_{2},e_{3}}{x,y,z}}\vDash Bxyz?$

5. Es sei ${}V=\mathbb {R}$ als ${}\mathbb {Q}$-Vektorraum betrachtet. Gilt

   $I{\frac {1,{\sqrt {2}}}{x,y}}\vDash Axy?$

Zur Lösung, Alternative Lösung erstellen