Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Gauß Vorzeichenlemma/Fakt mit Beweisklappe

Gaußsches Vorzeichenlemma

Für eine ungerade Primzahl ${}p$ und eine zu ${}p$ teilerfremde Zahl ${}k$ gilt mit den zuvor eingeführten Bezeichnungen

${}\left({\frac {k}{p}}\right)=\epsilon _{1}\cdot \epsilon _{2}\cdots \epsilon _{t}\,.$

Beweis

Es sei ${}s_{i}\in S_{+}$ durch die Bedingung

$ik=\epsilon _{i}s_{i}\mod p$

festgelegt. Wir betrachten alle Vielfachen ${}jk$, ${}j\in S=(\mathbb {Z} /(p))^{\times }$. Die Menge all dieser Vielfachen ist selbst ganz ${}S$, da ja ${}k$ eine Einheit und daher die Multiplikation mit ${}k$ eine Bijektion ist. Es ist ${}(-i)k=-ik=-\epsilon _{i}s_{i}$ für ${}i\in S_{+}=\{1,\ldots ,t\}$. Daher ist ${}S_{+}=\{1,\ldots ,t\}=\{s_{1},\ldots ,s_{t}\}$. Deshalb gilt ${}t!=\prod _{i=1}^{t}s_{i}$ und somit

${}t!k^{t}={\left(\prod _{i=1}^{t}i\right)}{\left(\prod _{i=1}^{t}k\right)}=\prod _{i=1}^{t}ik=\prod _{i=1}^{t}\epsilon _{i}s_{i}={\left(\prod _{i=1}^{t}\epsilon _{i}\right)}{\left(\prod _{i=1}^{t}s_{i}\right)}={\left(\prod _{i=1}^{t}\epsilon _{i}\right)}t!\mod p\,.$

Durch kürzen mit ${}t!$ (das ist eine Einheit) ergibt sich

${}k^{t}=\prod _{i=1}^{t}\epsilon _{i}\mod p\,,$

und das Euler-Kriterium, nämlich

${}k^{t}=k^{\frac {p-1}{2}}=\left({\frac {k}{p}}\right)\mod p\,,$

liefert das Ergebnis.

$\Box$