Riemannsche Fläche/Divisor/Rückzug/Textabschnitt

Definition

Zu einer nichtkonstanten holomorphen Abbildung ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ zwischen zusammenhängenden riemannschen Flächen ${}X$ und ${}Y$ und einem Divisor ${}D=\sum _{y\in Y}n_{y}\cdot y$ nennt man

${}\varphi ^{*}(D)=\sum _{x\in X}\operatorname {Verz} {\left(x{|}\varphi (x)\right)}n_{\varphi (x)}\cdot x\,$

den zurückgezogenene Divisor zu ${}D$.

Zu einem einzelnen Punkt ${}y\in Y$, aufgefasst als Divisor, ist der zurückgezogene Divisor gleich ${}\sum _{x\in \varphi ^{-1}(y)}\operatorname {Verz} {\left(x{|}y\right)}\cdot x$. Dies ist also im Wesentlichen die Faser über ${}y$, wobei allerdings die Verzweigungspunkte, also Punkte, wo die Verzweigungsordnung ${}\geq 2$ ist, mehrfach gezählt werden. Der Rückzug ist ein Gruppenhomomorphismus ${}\operatorname {Div} {\left(Y\right)}\rightarrow \operatorname {Div} {\left(X\right)}$, siehe Aufgabe.

Lemma

Zu einer nichtkonstanten holomorphen Abbildung

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

zwischen zusammenhängenden riemannschen Flächen und einem Hauptdivisor ${}D=\sum _{y}n_{y}\cdot y=\operatorname {div} {\left(f\right)}$ auf ${}Y$ zu einer meromorphen Funktion ${}f\neq 0$ auf ${}Y$

stimmt der zurückgezogene Divisor ${}\varphi ^{*}(D)$ mit dem Hauptdivisor zu ${}f\circ \varphi$ überein.

Beweis

Sei ${}x\in X$ fixiert und ${}y=\varphi (x)$ der Bildpunkt. Die Ordnung des zurückgezogenen Divisors ${}\varphi ^{*}D$ in ${}x$ ist nach Definition gleich ${}\operatorname {Verz} {\left(x{|}y\right)}n_{y}$, wobei ${}n_{y}$ die Ordnung von ${}D$ in ${}y$ ist, also die Ordnung ${}k$ der meromorphen Funktion ${}f$ auf ${}Y$ in ${}y$. Mit einem lokalen Parameter ${}z$ um ${}y$, mit dessen Hilfe ja die Verzweigungsordnung von ${}\varphi$ definiert wird, kann man in einer offenen Umgebung von ${}y$

${}f=uz^{k}\,$

mit einer holomorphen Einheit ${}u$ schreiben. Dann ist die Ordnung von ${}f\circ \varphi$ in ${}x$ gleich

${}{\begin{aligned}\operatorname {ord} _{x}(f\circ \varphi )&=\operatorname {ord} _{x}(uz^{k}\circ \varphi )\\&=\operatorname {ord} _{x}((u\circ \varphi )(z\circ \varphi )^{k})\\&=\operatorname {ord} _{x}((z\circ \varphi )^{k})\\&=k\operatorname {ord} _{x}(z\circ \varphi )\\&=k\operatorname {Verz} {\left(x{|}y\right)}.\end{aligned}}$

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Korollar

Zu einer meromorphen Funktion ${}f\neq 0$ auf einer zusammenhängenden riemannschen Fläche

stimmt der Hauptdivisor ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}$ mit dem zurückgezogenen Divisor ${}f^{*}(0-\infty )$ zum Divisor ${}0-\infty$ auf der projektiven Geraden unter der nach Fakt zugehörigen holomorphen Abbildung ${}f\colon X\rightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ überein.

Beweis

Dies folgt aus Fakt, angewendet auf die Identität auf der projektiven Geraden. Wenn man diese als meromorphe Funktion auffasst, so ist deren Hauptdivisor gleich ${}0-\infty$.

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Lemma

Eine nichtkonstante holomorphe Abbildung

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

zwischen zusammenhängenden riemannschen Flächen

induziert über das Zurückziehen von Divisoren einen Gruppenhomomorphismus

$\operatorname {DKG} {\left(Y\right)}\longrightarrow \operatorname {DKG} {\left(X\right)},\,[D]\longmapsto [\varphi ^{*}(D)].$

Beweis

Dies folgt aus Fakt.

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