Riemannsche Fläche/Endliche Abbildung/Struktursatz/Fakt

Struktursatz für endliche holomorphe Abbildungen

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine endliche holomorphe Abbildung zwischen den riemannschen Flächen ${}X$ und ${}Y$.

Dann gibt es zu jedem ${}y\in Y$ eine offene Umgebung ${}y\in V\subseteq Y$ derart, dass das Urbild ${}U=\varphi ^{-1}(V)$ eine disjunkte Zerlegung ${}U=\biguplus _{i\in I}U_{i}$ mit Kartengebieten ${}U_{i}$ besitzt derart, dass die Einschränkung ${}\varphi _{i}\colon U_{i}\rightarrow V$ biholomorph zu einer Potenzabbildung ${}z\mapsto z^{r_{i}}$ ist.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen