Riemannsche Fläche/Endliche Abbildung/Struktursatz/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}y\in Y$ fixiert. Die Endlichkeit bleibt erhalten, wenn man zu einer offenen Teilmenge ${}y\in V\subseteq Y$ übergeht und

$\varphi ^{-1}(V)\longrightarrow V$

betrachtet. Wir können davon ausgehen, dass ${}V$ ein Kartengebiet ist mit ${}y=0$ und dass außerhalb von ${}0$ keine Verzweigung vorliegt. Es liegt dann nach Fakt und Fakt eine endliche Überlagerung

$\varphi ^{-1}(V)\setminus \varphi ^{-1}(0)\longrightarrow V\setminus \{0\}$

mit einer gewissen Blätterzahl vor. Es seien ${}x_{1},\ldots ,x_{m}$ die Urbildpunkte von ${}0$. Durch Verkleinerung von ${}V$ kann man annehmen, dass ${}\varphi ^{-1}(V)$ die disjunkte Vereinigung von offenen Umgebungen ${}U_{i}$ ist mit ${}x_{i}\in U_{i}$ ist. Würde es nämlich eine weitere disjunkte offene Menge ${}U'$ im Urbild geben, die keinen Urbildpunkt von ${}0$ enthält, so sei ${}x'\in U'$ mit dem Bildpunkt ${}y'$. Dann wäre die Liftung eines Verbindungsweges von ${}y'$ nach ${}0$, die es nach Fakt gibt, in ${}U'$ nicht abgeschlossen, was der Eigentlichkeit widerspricht. Nach einer weiteren Verkleinerung können wir nach Fakt davon ausgehen, dass jede eingeschränkte Abbildung ${}U_{i}\rightarrow V$ nach einem Kartenwechsel eine Potenzierung ${}z\mapsto z^{r_{i}}$ ist.

Zur bewiesenen Aussage