Riemannsche Fläche/Endliche holomorphe Abbildung/Fortsetzung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}P\in D\subseteq {\tilde {X}}$ und ${}P\in U$ eine offene Kreisscheibe, die keine weitere Punkte von ${}D$ und auch keine Verzweigungsbildpunkte von ${}p$ enthalte. Die eingeschränkte Abbildung

$p\colon p^{-1}(U\setminus \{P\})\longrightarrow U\setminus \{P\}$

ist endlich und unverzweigt, es liegt eine endliche Überlagerung der punktierten Kreisscheibe vor. Es seien ${}V_{1},\ldots ,V_{k}$ die Zusammenhangskomponenten von ${}p^{-1}(U\setminus \{P\})$. Dann ist jedes

$V_{i}\longrightarrow U\setminus \{P\}$

eine endliche Überlagerung. Eine solche ist eine Potenzabbildung auf einer punktierten Kreisscheibe. Dabei kann man ${}V_{i}$ zu einer Kreisscheibe ${}{\tilde {V}}_{i}$ auffüllen und die Potenzabbildung als Abbildung von ${}{\tilde {V}}_{i}$ nach ${}U$ fortsetzen. Dies macht man für jedes ${}V_{i}$ und für alle Punkte aus ${}D$.

Zur bewiesenen Aussage