Riemannsche Fläche/Meromorphe Differentialform/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}U$ eine riemannsche Fläche. Eine meromorphe Differentialform auf ${}U$ wird gegeben durch eine holomorphe Differentialform auf ${}U\setminus D$, wobei ${}D\subseteq U$ eine diskrete Teilmenge bezeichnet, mit der Eigenschaft, dass für jeden Punkt ${}P\in D$ lokal die Differentialform von der Form ${}fdz$ mit einer meromorphen Funktion ${}f$ und mit einem lokalen Parameter ${}z$ in ${}P$ ist.

Die meromorphen Differentialformen bilden eine Garbe auf ${}X$, die wir mit ${}{{\mathcal {M}}^{(1)}}$ bezeichnen.

Bemerkung  

Die Ableitung ${}{\mathcal {O}}_{X}(U)\longrightarrow \Omega _{X}(U)$, ${}f\longmapsto df$ lässt sich fortsetzen zur Ableitung

$d\colon {\mathcal {M}}{\left(U\right)}\longrightarrow {{\mathcal {M}}^{(1)}}{\left(U\right)},\,f\longmapsto df.$

Hierbei wird lokal der meromorphen Funktion ${}f$ die meromorphe Differentialform ${}f'dz$ zugeordnet. Diese Ableitung ist wieder ${}{\mathbb {C} }$-linear und ein Garbenhomomorphismus, aber kein Modulhomomorphismus. Zu einer globalen meromorphen Differentialform ${}\omega$ (für die Existenz vergleiche Fakt) erhält man einen Garbenhomomorphismus

${\mathcal {M}}{\left(U\right)}\longrightarrow {{\mathcal {M}}^{(1)}}{\left(U\right)},\,f\longmapsto f\omega .$

Da lokal ein Isomorphismus vorliegt, handelt es sich um einen Isomorphismus. Es liegt also eine nichtkanonische Isomorphie vor. Insbesondere kann man bei einer gegebenen meromorphen Form ${}\omega \neq 0$ jede weitere meromorphe Form ${}\omega '$ als

${}\omega '=f\omega \,$

mit einer eindeutig bestimmten meromorphen Funktion ${}f$ schreiben. Für nichtkonstante meromorphe Funktionen ${}g,h$ gibt es insbesondere eine Beziehung

${}dg=fdh\,$

mit einer meromorphen Funktion ${}f$. Nicht jede meromorphe Differentialform kann man als ${}df$ mit einer meromorphen Funktion schreiben, siehe Aufgabe.

Holomorphe Differentialformen sind insbesondere meromorphe Differentialformen, wir haben also die Untergarbenbeziehung ${}\Omega _{X}\subseteq {{\mathcal {M}}^{(1)}}$. Dies erlaubt neben der Einbettung von holomorphen Differentialformen in reell-differenzierbare ${}1$-Formen eine weitere Auflösungsmöglichkeit für die holomorphen Differentialformen. In einem Punkt ${}P\in X$ gilt

${}{{\mathcal {M}}^{(1)}}_{P}/\Omega _{X,P}\cong {\mathcal {M}}_{P}/{\mathcal {O}}_{X,P}\cong {\mathcal {T}}_{P}\,,$

der Quotientenmodul ist also in einem Punkt isomorph zum Hauptteilmodul in diesem Punkt. Um mit natürlichen Abbildungen zu arbeiten und falsche Identifizierungen zu vermeiden sollte man in diesem Kontext die Hauptteilverteilungen stets punktweise durch ${}[\omega ]$ mit einer meromorphen Differentialform ${}\omega$ aus ${}{{\mathcal {M}}^{(1)}}_{P}$ repräsentieren oder in der Form ${}\sum _{n=k}^{-1}c_{n}z^{n}dz$ mit einem lokalen Parameter ${}z$ in ${}P$. Die zugehörige Garbe bezeichnen wir mit ${}{{\mathcal {T}}^{(1)}}$, sie ist isomorph zur Garbe der Hauptteilverteilungen.

Lemma

Auf einer riemannschen Fläche

liegt eine kurze exakte Sequenz von Garben

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\Omega _{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{{\mathcal {M}}^{(1)}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{{\mathcal {T}}^{(1)}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

vor.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Beispiel

Auf der projektiven Geraden ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ ist ${}z^{-1}dz$ eine globale meromorphe Differentialform. Es sei ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}=U\cup V$ die Standardüberdeckung. Auf ${}U\setminus \{0\}$ ist die Form holomorph, im Nullpunkt hat sie einen Pol der Ordnung ${}1$. Auf ${}V$ mit dem lokalen Parameter ${}w=z^{-1}$ ist

${}z^{-1}dz=wdw^{-1}=w{\left(-{\frac {1}{w^{2}}}\right)}dw=-w^{-1}dw\,,$

im unendlich fernen Punkt liegt also auch ein Pol der Ordnung ${}1$ vor. Diese Form definiert im Sinne von Fakt die Differentialform-Hauptteilverteilung mit dem Träger ${}\{0,\infty \}$ und den Werten ${}z^{-1}dz$ in ${}0$ und ${}-w^{-1}dw$ in ${}\infty$. Diese Verteilung rührt wie gezeigt von einer globalen meromorphen Form her. Dagegen rührt die Verteilung, die allein im Punkt ${}0$ den Wert ${}z^{-1}dz$ besitzt, nicht von einer globalen meromorphen Form her (dies folgt auch sofort aus Fakt). Eine solche müsste nämlich auf ${}V$ eine holomorphe Differentialform sein, also von der Form ${}hdw$ mit einer holomorphen ganzen Funktion auf ${}V\cong {\mathbb {C} }$, sagen wir

${}hdw=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}w^{n}dw\,$

Doch eine solche Form hat, wie die Transformation mit ${}w=z^{-1}$ zeigt, in ${}0\in U$ einen Pol der Ordnung ${}\geq 2$. Die Verteilung wiederum, die allein im Punkt ${}0$ den Wert ${}z^{-2}dz$ besitzt, rührt von ebendieser meromorphen Form her, da

${}z^{-2}dz=w^{2}dw^{-1}=-dw\,$

eine holomorph Differentialform ist.

Definition

Zu einer meromorphen Differentialform ${}\omega$ auf einer riemannschen Fläche ${}X$ und einem Punkt ${}P\in X$ mit einer lokalen Beschreibung ${}\omega =fdz$ (wobei ${}z$ ein lokaler Parameter und ${}f$ eine meromorphe Funktion ist) nennt man das Residuum von ${}f$ in ${}P$ das Residuum der Differentialform in ${}P$. Es wird mit ${}\operatorname {Res} _{P}\left(\omega \right)$ bezeichnet.

Eine holomorphe Differentialform nennt man auch (meromorphe) Differentialform erster Gattung. Darüber hinaus gibt es die folgenden Sprechweisen.

Definition

Eine meromorphe Differentialform ${}\omega$ auf einer riemannschen Fläche ${}X$ heißt Differentialform zweiter Gattung, wenn alle ihre Residuen ${}\operatorname {Res} _{P}\left(\omega \right)$ für ${}P\in X$ gleich ${}0$ sind.

Definition

Eine meromorphe Differentialform ${}\omega$ auf einer riemannschen Fläche ${}X$ heißt Differentialform dritter Gattung, wenn sie höchstens Pole der Ordnung ${}1$ besitzt.