Riemannsche Fläche/Normiertes Polynom/Glattes und unverzweigtes Nullstellengebilde/Fakt/Beweis

Beweis

In den Punktes des unverzweigten Nullstellengebildes haben ${}P$ und ${}P'$ (Ableitung nach ${}T$) keine gemeinsame Nullstelle. D.h. ${}P'$ hat in diesen Punkten keine Nullstelle und daher handelt es sich insbesondere um einen glatten Punkt. Es bezeichne ${}X'\subseteq X$ die offene Teilmenge von ${}X$ bestehend aus allen Punkten ${}x\in X$ mit der Eigenschaft, dass alle Punkte darüber glatt sind. Dabei gilt ${}X\setminus D\subseteq X'$, wobei ${}D$ die Menge aus Fakt  (4) bezeichnet. Wir betrachten die eingeschränkte Projektion ${}p'\colon p^{-1}(X')\rightarrow X'$. Hierbei ist ${}p^{-1}(X')$ als Teilmenge des glatten Nullstellengebildes eine riemannsche Fläche und die Abbildung ist endlich mit Blätterzahl ${}n$. Nach Fakt ist ${}p'$ genau dann überall unverzweigt, wenn die Faseranzahl gleich ${}n$ ist.

Zur bewiesenen Aussage