Riemannsche Flächen/Endliche Abbildung/Faserkonstanz/Textabschnitt

Zu einer holomorphen Abbildung ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ und einen Punkt ${}y\in Y$ nennt man die Summe ${}\sum _{x\in \varphi ^{-1}(y)}\operatorname {Verz} {\left(x{|}y\right)}$ (falls diese endlich ist) die Gesamtordnung von ${}f$ über ${}y$, man sagt, dass ${}y$ mit dieser Gesamtordnung angenommen wird. Speziell bei ${}Y={\mathbb {C} }$ und ${}P=0$ spricht man von der Gesamtnullstellenordnung von ${}\varphi$.

Satz

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine endliche holomorphe Abbildung zwischen den riemannschen Flächen ${}X$ und ${}Y$ mit ${}Y$ zusammenhängend.

Dann ist die Summe ${}\sum _{x\in \varphi ^{-1}(y)}\operatorname {Verz} {\left(x{|}y\right)}$ konstant, also unabhängig von ${}y\in Y$.

Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt, wobei der Zusammenhang auf ${}Y$ sichert, dass die Blätterzahl auf dem Überlagerungsort konstant ist.

$\Box$

Aufgrund von dieser Aussage nennt man, den Sprachgebrauch von Überlagerungen erweiterend, bei einer endlichen holomorphen Abbildung die konstante Anzahl (wenn man die Verzweigungspunkte richtig zählt) der Elemente in der Faser die Blätterzahl der Abbildung. Solche Abbildung werden manchmal auch verzweigte Überlagerungen genannt. Die Begriffe Decktransformation, Decktransformationsgruppe und normal verwenden wir auch in dieser allgemeineren Situation.

Satz

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen den zusammenhängenden riemannschen Flächen ${}X$ und ${}Y$ mit ${}X$ kompakt.

Dann ist für jedes ${}y\in Y$ die Summe ${}\sum _{x\in \varphi ^{-1}(y)}\operatorname {Verz} {\left(x{|}y\right)}$ konstant.

Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung von der zusammenhängenden kompakten riemannschen Fläche ${}X$ in die projektive Gerade.

Dann ist für jedes ${}y\in {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ die Summe ${}\sum _{x\in \varphi ^{-1}(y)}\operatorname {Verz} {\left(x{|}y\right)}$ konstant.

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.

$\Box$