Riemannsche Mannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Geodätische/Differentialgleichung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung


Es sei die Dimension von . Wir betrachten die Situation direkt auf einem offenen Kartenbild . Die vertikale Ableitung ist gemäß Bemerkung durch

gegeben, wobei man die Abbildung nach erhält, wenn man die mittlere Komponente weglässt. Die zweite Ableitung der Kurve ist zunächst die zweite Tangentialabbildung, es ist (wobei wir die Multiplikation mit der eindimensionalen Richtung des Tangentialraumes der Kurve ignorieren)

und entsprechend

(es werden beide Komponenten der Tangentialabbildung abgeleitet). Mit wird dies unter der vertikalen Projektion auf

abgebildet. Die Bedingung an eine Geodätische, dass die zweite Ableitung (in ) stets horizontal ist, ist äquivalent dazu, dass die berechnete vertikale Projektion gleich ist. Dies bedeutet, dass die einzelnen Komponenten gleich sind und dies bedeutet

für

.