Riemannscher Abbildungssatz/Injektive Abbildung in Kreis/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei . Dann ist die lineare Funktion nullstellenfrei auf und daher gibt es nach Fakt eine holomorphe Funktion mit . Die Abbildung ist injektiv als Quadratwurzel einer injektiven Funktion. Aufgrund des Offenheitssatzes ist offen in . Es gibt also insbesondere einen Punkt und eine offene Kreisscheibe

wobei wir wählen. Wir behaupten, dass die gegenüberliegende Kreisscheibe disjunkt zu ist. Wäre nämlich , so gäbe es Punkte mit und . Doch dann ist

was der Injektivität von widerspricht. Daher ist und die Funktion

ist auf wohldefiniert, injektiv und landet im abgeschlossenen, aber aufgrund des Offenheitssatzes auch im offenen Einheitskreis.