Riemannscher Abbildungssatz/Surjektivitätskriterium/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei nicht surjektiv und sei nicht im Bild. Wir betrachten die Hintereinanderschaltung

mit

also die Funktion

Nach Aufgabe bildet den Einheitskreis in sich ab, daher ist auch eine Abbildung von in den Einheitskreis. Da nullstellenfrei und einfach zusammenhängend ist, gibt es nach Fakt eine Funktion

mit . Beachte dabei und . Wir betrachten nun

mit

also

Nach Konstruktion ist injektiv und bildet in den Einheitskreis ab. Ferner ist . Schließlich gilt unter Verwendung von Aufgabe

wobei die letzte Abschätzung auf (der strikten Version von) Aufgabe beruht.