Ring/Elementare Eigenschaften/Einführung/Textabschnitt

Die wichtigsten mathematischen Strukturen wie ${}\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R}$ besitzen nicht nur eine, sondern zwei Verknüpfungen.

Definition

Ein Ring ${}R$ ist eine Menge mit zwei Verknüpfungen ${}+$ und ${}\cdot$ und mit zwei ausgezeichneten Elementen ${}0$ und ${}1$ derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:

${}(R,+,0)$ ist eine abelsche Gruppe.
${}(R,\cdot ,1)$ ist ein Monoid.
Es gelten die Distributivgesetze, also ${}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ und ${}(b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)$ für alle ${}a,b,c\in R$ .

Definition

Ein Ring ${}R$ heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.

In einem kommutativen Ring muss man nicht zwischen den beiden Formen des Distributivgesetzes unterscheiden. Das Basismodell für einen (kommutativen) Ring bildet die Menge der ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ mit der natürlichen Addition und Multiplikation. Die ${}0$ ist das neutrale Element der Addition und die ${}1$ ist das neutrale Element der Multiplikation. Der Nachweis, dass ${}\mathbb {Z}$ die Axiome eines Ringes, also die oben aufgelisteten Eigenschaften, erfüllt, beruht letztlich auf den Peano-Axiomen für die natürlichen Zahlen ${}\mathbb {N}$ und ist ziemlich formal. Darauf wollen wir verzichten und stattdessen diese seit langem vertrauten Gesetzmäßigkeiten akzeptieren.

Die natürlichen Zahlen bilden keinen Ring, da sie noch nicht einmal eine additive Gruppe bilden. Die Zahlbereiche ${}\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,{\mathbb {C} }$ sind ebenfalls kommutative Ringe, wobei der Nachweis der Eigenschaften dadurch geschieht, dass man die Konstruktion dieser Zahlbereiche aus den „vorhergehenden“ betrachtet (etwa ${}\mathbb {R}$ aus ${}\mathbb {Q}$ ) und die Gültigkeit (in ${}\mathbb {R}$ ) auf die Gültigkeit im „Vorgänger“ ( ${}\mathbb {Q}$ ) zurückführt.

Wir benutzen allgemein die Klammerkonvention, dass Punktrechnung stärker bindet als Strichrechnung, d.h. wir schreiben einfach ${}ab+cd$ statt ${}(ab)+(cd)$ . Das Inverse zu ${}a\in R$ bezüglich der Addition, das es ja immer gibt, schreiben wir als ${}-a$ und nennen es das Negative von ${}a$ . Statt ${}a+(-b)$ schreiben wir ${}a-b$ . An weiteren Notationen verwenden wir für ein Ringelement ${}a\in R$ und eine natürliche Zahl ${}n\in \mathbb {N}$ die Schreibweisen ${}na=a+\cdots +a\,\,(n{\text{ Summanden}})$ und ${}a^{n}=a\cdots a\,\,(n{\text{ Faktoren}})$ . Bei einem negativen ${}n\in \mathbb {Z}$ ist ${}na=(-n)(-a)$ zu interpretieren (dies beruht auf den „Potenzgesetzen“ in einer Gruppe aus der ersten Vorlesung, wobei hier die Gruppe additiv geschrieben wird und deshalb Vielfache genommmen werden) (dagegen macht ${}a^{n}$ mit negativen Exponenten im Allgemeinen keinen Sinn). Statt ${}n1=n1_{R}$ schreiben wir einfach ${}n$ (bzw. manchmal ${}n_{R}$ ), d.h. jede ganze Zahl findet sich in jedem Ring wieder.

Beispiel

Die einelementige Menge ${}R=\{0\}$ kann man zu einem Ring machen, indem man sowohl die Addition als auch die Multiplikation auf die einzig mögliche Weise erklärt, nämlich durch ${}0+0=0$ und ${}0\cdot 0=0$ . In diesem Fall ist ${}1=0$ , dies ist also ausdrücklich erlaubt. Diesen Ring nennt man den Nullring.

Nach dem Nullring ist der folgende Ring der zweitkleinste Ring.

Beispiel

Wir suchen nach einer Ringstruktur auf der Menge ${}\{0,1\}$ . Wenn ${}0$ das neutrale Element einer Addition und ${}1$ das neutrale Element der Multiplikation sein soll, so ist dadurch schon alles festgelegt, da ${}1+1=0$ sein muss. Die Operationstafeln sehen also wie folgt aus.

${}+$	${}0$	${}1$
${}0$	${}0$	${}1$
${}1$	${}1$	${}0$

und

${}\cdot$	${}0$	${}1$
${}0$	${}0$	${}0$
${}1$	${}0$	${}1$

Durch etwas aufwändiges Nachrechnen stellt man fest, dass es sich in der Tat um einen kommutativen Ring handelt (sogar um einen Körper).

Eine „natürliche“ Interpretation dieses Ringes gewinnt man, wenn man sich die geraden ganzen Zahlen durch ${}0$ und die ungeraden ganzen Zahlen durch ${}1$ repräsentiert denkt. Beispielsweise ist die Summe zweier ungerader Zahlen stets gerade, was der obigen Gleichung ${}1+1=0$ entspricht.

Zu jeder natürlichen Zahl ${}n\in \mathbb {N}$ kann man einen kommutativen Ring ${}\mathbb {Z} /(n)$ definieren, nämlich als die Menge ${}\{0,1,2,\ldots ,n-2,n-1\}$ , wobei die Addition und die Multiplikation zuerst in ${}\mathbb {N}$ ausgeführt wird und davon der Rest bei Division durch ${}n$ genommen wird. Die exakte Durchführung dieser Konstruktion und der Nachweis der Ringeigenschaften verschieben wir auf später, es ist aber sinnvoll, diese (verglichen mit ${}\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R}$ ) untypischen Ringe schon jetzt zur Verfügung zu haben. Der obige Ring mit zwei Elementen ist beispielsweise gleich ${}\mathbb {Z} /(2)$ .

Lemma

Es sei ${}R$ ein Ring und seien ${}a,b,c,a_{1},\ldots ,a_{r},b_{1},\ldots ,b_{s}$ Elemente aus ${}R$ .

Dann gelten folgende Aussagen.

${}0a=a0=0\,$

(Annullationsregel),

${}a(-b)=-(ab)=(-a)b\,,$

${}(-a)(-b)=ab\,$

(Vorzeichenregel),

${}a(b-c)=ab-ac$ und ${}(b-c)a=ba-ca$ ,

${}{\left(\sum _{i=1}^{r}a_{i}\right)}{\left(\sum _{k=1}^{s}b_{k}\right)}=\sum _{1\leq i\leq r,\,1\leq k\leq s}a_{i}b_{k}\,$

(allgemeines Distributivgesetz).

Beweis

Wir beweisen im nicht kommutativen Fall je nur eine Hälfte.

Es ist ${}a0=a(0+0)=a0+a0$ . Durch beidseitiges Abziehen von ${}a0$ ergibt sich die Behauptung.
${}(-a)b+ab=(-a+a)b=0b=0\,$

nach Teil (1). Daher ist ${}(-a)b$ das (eindeutig bestimmte) Negative von ${}ab$ .
Nach (2) ist ${}(-a)(-b)=(-(-a))b$ und wegen ${}-(-a)=a$ (dies gilt in jeder Gruppe) folgt die Behauptung.
Dies folgt auch aus dem bisher Bewiesenen.
Dies folgt aus einer Doppelinduktion.

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