Ring/Gruppenoperation/Ringwechsel zu Modul/Verträglich/Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, auf dem eine Gruppe ${}G$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere mit dem Invariantenring ${}R^{G}$. Es sei ${}M$ ein ${}R^{G}$-Modul und ${}R\otimes _{R^{G}}M$ der durch Ringwechsel gewonnene ${}R$-Modul. Zeige, dass es eine verträgliche Operation von ${}G$ auf ${}R\otimes _{R^{G}}M$ als Gruppe von ${}R^{G}$-Modulautomorphismen gibt, und dass es eine natürliche Abbildung

$M\longrightarrow {\left(R\otimes _{R^{G}}M\right)}^{G}$

gibt. Zeige, dass unter der Bedingung, dass ${}R^{G}$ ein direkter Summand von ${}R$ ist, diese Abbildung injektiv ist, und dass dies ohne diese Voraussetzung nicht gelten muss.

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