Rotationsflächen/Riemannsch/Flächeninhalt/Einführung/Textabschnitt

Es sei eine differenzierbare Kurve

$\gamma \colon ]a,b[\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (x(t),y(t)),$

mit ${}y(t)\geq 0$ gegeben. Wir interessieren uns für die zugehörige Rotationsfläche, also die Teilmenge

${\left\{(x(t),y(t)\cos \alpha ,y(t)\sin \alpha )\mid t\in ]a,b[,\,\alpha \in [0,2\pi ]\right\}}$

des ${}\mathbb {R} ^{3}$, die entsteht, wenn man die Trajektorie der Kurve um die ${}x$-Achse dreht. Wir setzen zusätzlich voraus, dass ${}\gamma$ einen Diffeomorphismus auf sein Bild ${}M=\gamma {\left(]a,b[\right)}$ bewirkt und dass ${}M$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit in einer offenen Menge

${}G\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+}\,$

ist (es wird also auch gefordert, dass ${}\gamma$ überall positiv ist). Die Rotationsfläche ist dann eine zweidimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des ${}\mathbb {R} ^{3}$ ohne die ${}x$-Achse, sodass eine riemannsche Mannigfaltigkeit vorliegt. Ihr Flächeninhalt lässt sich wie folgt berechnen.

Satz

Es sei

$\gamma \colon ]a,b[\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (x(t),y(t)),$

eine differenzierbare Kurve mit ${}y(t)>0$, die einen Diffeomorphismus zu ${}M=\gamma (I)$ induziere, wobei ${}M\subseteq G$ eine eindimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit in einer offenen Menge ${}G\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+}$ sei.

Dann ist die zugehörige Rotationsfläche eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von ${}\mathbb {R} ^{3}$ ohne die ${}x$-Achse, und ihr Flächeninhalt ist gleich

$2\pi \int _{a}^{b}{\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}}\cdot y(t)\,dt.$

Beweis

Es sei ${}S$ die Rotationsfläche, die eine abgeschlossene zweidimensionale Untermannigfaltigkeit in einer offenen Menge des ${}\mathbb {R} ^{3}$ ist. Wir wenden Fakt auf die Parametrisierung

$]a,b[\times ]0,2\pi [\longrightarrow S,\,(t,\alpha )\longmapsto (x(t),y(t)\cos \alpha ,y(t)\sin \alpha ),$

an. Die partiellen Ableitungen sind

${\begin{pmatrix}x'(t)\\y'(t)\cos \alpha \\y'(t)\sin \alpha \end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\begin{pmatrix}0\\-y(t)\sin \alpha \\y(t)\cos \alpha \end{pmatrix}}$

und daher ist

$E(t,\alpha )=(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2},\,F(t,\alpha )=0,\,G(t,\alpha )=(y(t))^{2}.$

Somit ist der Flächeninhalt gleich

$\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}}\cdot y(t)\,d\alpha \,dt=2\pi \int _{a}^{b}{\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}}\cdot y(t)\,dt\,.$

$\Box$