S^1 und offenes Einheitsintervall/Topologisch/Differentialformen/Aufgabe/Lösung


a) Nach Fakt ist die als abgeschlossene und beschränkte Teilmenge des kompakt, das offene Intervall ist dagegen nicht kompakt.

b) Es ist

mit einer stetigen Funktion

Nach dem Hauptsatz der Infinitesimalrechnung besitzt eine Stammfunktion . In der Sprache der Differentialformen bedeutet dies

also ist exakt.

c) Es sei gegeben, wobei die Koordinaten des mit und bezeichnet seien. Wir betrachten die Differentialform

auf . Da eindimensional ist, ist sie geschlossen. Für den Weg

ist

Nach Fakt

kann nicht exakt sein.