S^2/Orientierte Mannigfaltigkeit/Beispiel

Wir betrachten die ${}2$-Sphäre ${}S^{2}$ als Faser über ${}0$ zur differenzierbaren Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto x^{2}+y^{2}+z^{2}-1.$

Wir können darauf Fakt anwenden und erhalten durch

$\bigwedge ^{2}T_{P}S^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,v_{1}\wedge v_{2}\longmapsto \det(\operatorname {Grad} \,\varphi (P),v_{1},v_{2}),$

(wobei die Tangentenvektoren ${}v_{1}$ und ${}v_{2}$ wegen ${}T_{P}S^{2}\subseteq T_{P}\mathbb {R} ^{3}=\mathbb {R} ^{3}$ direkt im ${}\mathbb {R} ^{3}$ aufgefasst werden können.), eine stetige nullstellenfreie Flächenform ${}\omega$. Dies führt zu einer positiven Flächenform und zu einer Orientierung auf ${}S^{2}$. Zwei linear unabhängige Tangentialvektoren ${}v_{1}$ und ${}v_{2}$ repräsentieren die Orientierung, wenn ${}\omega (v_{1},v_{2})>0$ ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn die drei Vektoren ${}\operatorname {Grad} \,\varphi (P),\,v_{1},\,v_{2}$ die Standardorientierung des ${}\mathbb {R} ^{3}$ repräsentieren.