Satz über die injektive Abbildung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}\dim _{}{\left(V\right)}=k$ und ${}\dim _{}{\left(W\right)}=n$. Es sei ${}B={\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(V\right)}$ das Bild des totalen Differentials ${}\left(D\varphi \right)_{P}$. Nach Fakt  (1) ist ${}B\subseteq W$ ein Untervektorraum der Dimension ${}\dim _{}{\left(B\right)}=k$. Wir ergänzen eine Basis von ${}B$ durch ${}w_{1},\ldots ,w_{n-k}$ zu einer Basis von ${}W$ und setzen ${}C=\langle w_{1},\ldots ,w_{n-k}\rangle$. Wir betrachten die Abbildung

$\psi \colon G\times C\longrightarrow W,\,(v,w)\longmapsto \varphi (v)+w,$

wobei links und rechts zwei ${}n$-dimensionale Vektorräume stehen. Diese Abbildung kann man als die Hintereinanderschaltung

$G\times C{\stackrel {\varphi \times \operatorname {Id} _{C}\,}{\longrightarrow }}W\times C{\stackrel {+}{\longrightarrow }}W$

auffassen. Daher ist die Gesamtabbildung stetig differenzierbar und das totale Differential ist ${}\left(D\varphi \right)_{P}+i_{C}$, wobei ${}i_{C}\colon C\rightarrow W$ die lineare Einbettung des Unterraums ist. Dieses totale Differential ist surjektiv im Punkt ${}(P,0)$, da sowohl ${}B$ als auch ${}C$ zum Bild gehören, und somit bijektiv. Wir können also den Satz über die Umkehrabbildung anwenden und erhalten offene Mengen ${}U_{1}\subseteq G\times C$ und ${}U_{2}\subseteq W$ derart, dass ${}(\varphi \times \operatorname {Id} _{C}){|}_{U_{1}}$ ein Diffeomorphismus zwischen ${}U_{1}$ und ${}U_{2}$ ist. Dies können wir einschränken auf eine offene Menge der Form ${}U_{3}\times U_{4}\subseteq U_{1}$ mit ${}P\in U_{3}\subseteq G$ und ${}0\in U_{4}\subseteq C$. Dann ist die Abbildung

$\varphi {|}_{U_{3}}\colon U_{3}\longrightarrow W$

injektiv, da dies die Hintereinanderschaltung

$U_{3}\longrightarrow U_{3}\times U_{4}\longrightarrow U_{2}\subseteq W$

mit ${}Q\mapsto (Q,0)$ ist.

Zur bewiesenen Aussage