Satz vom primitiven Element/Zwischenkörperversion/Fakt/Beweis

Beweis

Wenn ${}K$ ein endlicher Körper ist, so ist auch ${}L$ endlich und die Voraussetzung über die endlich vielen Zwischenkörper ist automatisch erfüllt. In diesem Fall ist aber auch nach Fakt die Körpererweiterung einfach. Wir können also annehmen, dass ${}K$ unendlich ist. Es sei zunächst vorausgesetzt, dass es in ${}K\subseteq L$ nur endlich viele Zwischenkörper gibt. Sei ${}\operatorname {grad} _{K}L=n$. Jeder von ${}L$ verschiedene Zwischenkörper ${}M_{i}$, ${}i=1,\ldots ,k$, ist ein maximal ${}(n-1)$-dimensionaler ${}K$-Untervektorraum von ${}L$ und daher gibt es eine von ${}0$ verschiedene ${}K$-lineare Abbildung

$\varphi _{i}\colon L\longrightarrow K$

mit ${}\varphi _{i}(M_{i})=0$. Zu ${}\varphi _{i}$ gehört ein lineares Polynom ${}P_{i}$ (in ${}n$ Variablen) mit der entsprechenden Eigenschaft. Das Polynom ${}P=\prod _{i=1}^{k}P_{i}$ ist dann auf der Vereinigung aller Zwischenkörper ${}M_{i}\neq L$ gleich ${}0$. Da ${}K$ unendlich ist, gibt es aber nach Aufgabe auch Elemente ${}a=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in L$ mit ${}P(a)\neq 0$. Der von einem solchen Element ${}a$ über ${}K$ erzeugte Körper muss gleich ${}L$ sein, da er nach Konstruktion in keinem anderen Zwischenkörper liegt.

Es sei nun

${}L=K(x)=K[x]=K[X]/(F)\,$

eine einfache Körpererweiterung mit dem Minimalpolynom ${}F\in K[X]$. Für jeden Zwischenkörper ${}M$, ${}K\subseteq M\subseteq L$, ist ${}L=M(x)$ und das Minimalpolynom ${}G$ von ${}x$ über ${}M$ ist in ${}M[X]$ und insbesondere in ${}L[X]$ ein Teiler von ${}F$. Nach Fakt besteht die Beziehung ${}M=K(b_{0},\ldots ,b_{k})$, wobei die ${}b_{j}$ die Koeffizienten von ${}G$ sind. Da ${}F$ in ${}L[X]$ nur endlich viele (normierte) Teiler besitzt, gibt es nur endlich viele Zwischenkörper.

Zur bewiesenen Aussage