Schema/Vektorbündel/Lokal freie Garben/Surjektiv/Aufgabe

Es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorbündel über einem Schema ${}X$ und ${}{\mathcal {F}}$ und ${}{\mathcal {G}}$ die zugehörigen lokal freien Garben der Schnitte. Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ ein Homomorphismus von Vektorbündeln und ${}\psi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ der zugehörige Garbenhomomorphismus. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${}\varphi$ ist ein surjektiver Schemamorphismus.
2. In jedem Punkt ${}P\in X$ ist die Faserabbildung ${}V(x)\rightarrow W(x)$ surjektiv.
3. Der Homomorphismus ${}\psi \colon {\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {G}}$ ist surjektiv.
4. Es gibt eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und lokale Schnitte (Vektorbündelhomomorphismen)

   $s_{i}\colon W{|}_{U_{i}}\longrightarrow V{|}_{U_{i}}$

   zu ${}\varphi$.

5. Es gibt eine offene Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und lokale Schnitte (Modulhomomorphismen)

   $t_{i}\colon {\mathcal {G}}{|}_{U_{i}}\longrightarrow {\mathcal {F}}{|}_{U_{i}}$

   zu ${}\psi$.

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