Schulprojekt:Prototypenbau/Elektronik/Maschenstromverfahren

Netzwerkanalyse

Quelle: Netzwerkanalyse, Netzwerkberechnungen

Die Netzwerkanalyse dient zur Berechnung von Zweigspannungen und Zweigströmen in elektrischen Netzen. Alle Bauteilparameter müssen bekannt sein. Es gibt verschiedene Verfahren:

1. Elementarverfahren
2. Überlagerungsverfahren
3. Maschenstromverfahren

etc.

Maschenstromverfahren

Quelle:Maschenstromverfahren

Zeichne in jede Masche einen unbekannten beliebig orientierten Maschenstrom ein. Suche einen Zusammenhang zwischen den gesuchten Strömen und den Maschenströmen. Stelle Maschengleichungen und Knotengleichungen auf und löse sie.

Angabe:

Beispiel

Berechne I1,I2,I5

Einzeichnen der Ströme:

Datei:KirchBsp3Knoten.svg

Aufstellen der Knotengleichung:

${\mathit {I1}}+{\mathit {I2}}+{\mathit {I5}}\mathrm {\colon } =0$

Einzeichnen der Maschen:

Datei:KirchBsp3Maschen.svg

Aufstellen der Maschengleichungen:

${\mathit {mA}}\mathrm {\colon } =0.001A$

${\mathit {R1}}\mathrm {\colon } =20\Omega$, ${\mathit {R2}}\mathrm {\colon } =3\Omega$, ${\mathit {R3}}\mathrm {\colon } =5\Omega$, ${\mathit {R4}}\mathrm {\colon } =12\Omega$, ${\mathit {R5}}\mathrm {\colon } =470\Omega$ ${\mathit {U01}}\mathrm {\colon } =60V$, ${\mathit {U02}}\mathrm {\colon } =40V$

Maschenstromgleichung für den Maschenstrom Ia:

${\mathit {U02}}+{\mathit {Ia}}\cdot {\mathit {R2}}+{\mathit {Ib}}\cdot {\mathit {R2}}+{\mathit {Ia}}\cdot {\mathit {R3}}+{\mathit {Ia}}\cdot {\mathit {R1}}-{\mathit {U01}}+{\mathit {Ia}}\cdot {\mathit {R4}}\mathrm {\colon } =0$

Maschenstromgleichung für den Maschenstrom Ib:

${\mathit {U02}}+{\mathit {Ib}}\cdot {\mathit {R2}}+{\mathit {Ia}}\cdot {\mathit {R2}}+{\mathit {Ib}}\cdot {\mathit {R5}}\mathrm {\colon } =0$

Umformen für Ib:

${\mathit {Ib}}\mathrm {\colon } =-{\frac {\mathit {U02}}{{\mathit {R2}}+{\mathit {R5}}}}-{\mathit {Ia}}\cdot {\frac {\mathit {R2}}{{\mathit {R2}}+{\mathit {R5}}}}$

Vereinfachen

${\mathit {x1}}\mathrm {\colon } ={\frac {\mathit {U02}}{{\mathit {R2}}+{\mathit {R5}}}}={\text{84.57}}{\mathit {mA}}$

${\mathit {x2}}\mathrm {\colon } ={\frac {\mathit {R2}}{{\mathit {R2}}+{\mathit {R5}}}}={\text{0.006342}}$

${\mathit {Ib}}\mathrm {\colon } =-{\mathit {x1}}-{\mathit {Ia}}\cdot {\mathit {x2}}$

Einsetzen in erste Gleichung

${\mathit {U02}}+{\mathit {Ia}}\cdot {\mathit {R2}}-{\mathit {x1}}\cdot {\mathit {R2}}-{\mathit {R2}}\cdot {\mathit {Ia}}\cdot {\mathit {x2}}+{\mathit {Ia}}\cdot {\mathit {R3}}+{\mathit {Ia}}\cdot {\mathit {R1}}-{\mathit {U01}}+{\mathit {Ia}}\cdot {\mathit {R4}}\mathrm {\colon } =0$

Umformen

${\mathit {Ia}}\cdot \left({\mathit {R2}}-{\mathit {R2}}\cdot {\mathit {x2}}+{\mathit {R3}}+{\mathit {R1}}+{\mathit {R4}}\right)\mathrm {\colon } ={\mathit {U01}}-{\mathit {U02}}+{\mathit {x1}}\cdot {\mathit {R2}}$

Ausrechnen:

${\mathit {Ia}}\mathrm {\colon } ={\frac {{\mathit {U01}}-{\mathit {U02}}+{\mathit {x1}}\cdot {\mathit {R2}}}{{\mathit {R2}}-{\mathit {R2}}\cdot {\mathit {x2}}+{\mathit {R3}}+{\mathit {R1}}+{\mathit {R4}}}}={\text{506.6}}{\mathit {mA}}$

Einsetzen in Gleichung für Ib:

${\mathit {Ib}}\mathrm {\colon } =-{\mathit {x1}}-{\mathit {Ia}}\cdot {\mathit {x2}}={\text{-87.78}}{\mathit {mA}}$

${\mathit {I1}}+{\mathit {I2}}+{\mathit {I5}}\mathrm {\colon } =0$

${\mathit {I1}}\mathrm {\colon } ={\mathit {Ia}}$

${\mathit {I5}}\mathrm {\colon } ={\mathit {Ib}}$

Umformen der Knotengleichung

${\mathit {I2}}\mathrm {\colon } =-{\mathit {I1}}-{\mathit {I5}}={\text{-418.8}}{\mathit {mA}}$

Überprüfung der Lösung:

Nachstehende Daten Markieren und Kopieren (Strg-C) und beim Circuit simulator bei File Import mit Strg-V einfügen.

$ 1 5.0E-6 10.20027730826997 50 5.0 50
v 368 144 464 144 0 0 40.0 60.0 0.0 0.0 0.5
v 368 272 464 272 0 0 40.0 40.0 0.0 0.0 0.5
r 512 160 512 272 0 12.0
r 336 272 256 272 0 3.0
r 336 144 256 144 0 20.0
r 256 176 256 256 0 5.0
r 256 320 512 320 0 470.0
w 256 160 256 176 1
w 256 256 256 272 0
w 256 272 256 320 1
w 336 272 368 272 1
w 336 144 368 144 1
w 464 272 512 272 1
w 464 144 512 144 1
w 512 272 512 320 1
w 256 160 256 144 0
w 512 160 512 144 0
x 291 112 307 115 0 12 R1
x 407 110 430 113 0 12 U01
x 292 249 308 252 0 12 R2
x 481 220 497 223 0 12 R4
x 377 348 393 351 0 12 R5
x 223 222 239 225 0 12 R3
x 404 236 427 239 0 12 U02
x 415 303 436 306 0 12 40V
x 413 182 434 185 0 12 60V
x 491 161 501 164 0 12 I1
x 482 287 492 290 0 12 I2
x 235 301 245 304 0 12 I5

Aufgabe Prototypenbau