Schwerpunkt/Linear bijektiv/Wird transformiert/Aufgabe/Lösung

Es werde ${}\varphi$ bezüglich der Standardbasis durch die Matrix ${}M=(a_{ij})$ beschrieben, deren Determinante ${}\neq 0$ ist, da ${}\varphi$ bijektiv ist. Nach Fakt gilt

${}\lambda ^{n}(T)=\vert {\det M}\vert \cdot \lambda ^{n}(S)\,.$

Wir bezeichnen die Koordinaten vorne mit ${}x_{i}$ und hinten mit ${}y_{i}$. Die Verknüpfung ${}y_{i}\circ \varphi$ ist somit ${}a_{i1}x_{1}+a_{i2}x_{2}+\cdots +a_{in}x_{n}$. Für die ${}i$-te Koordinate des Schwerpunktes von ${}S$ gilt nach Fakt

${}{\begin{aligned}{\frac {\int _{T}y_{i}d\lambda ^{n}}{\lambda ^{n}(T)}}&={\frac {\int _{S}{\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\right)}\vert {\det M}\vert d\lambda ^{n}}{\vert {\det M}\vert \lambda ^{n}(S)}}\\&={\frac {\int _{S}{\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\right)}d\lambda ^{n}}{\lambda ^{n}(S)}}\\&={\frac {\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\int _{S}x_{j}d\lambda ^{n}}{\lambda ^{n}(S)}}\\&=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\int _{S}x_{j}d\lambda ^{n}}{\lambda ^{n}(S)}}.\end{aligned}}$

Dies ist die ${}i$-te Koordinate des Schwerpunktes von ${}S$ unter ${}\varphi$.

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