Sesquilinearform/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über den komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$. Eine Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

heißt antilinear (oder semilinear), wenn

${}\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)\,$

für alle ${}u,v\in V$ und wenn

${}\varphi (\lambda v)={\overline {\lambda }}\varphi (v)\,$

für alle ${}v\in V$ und ${}\lambda \in \mathbb {C}$ gilt.

Wenn man die komplexen Vektorräume als reelle Vektorräume auffasst, so handelt es sich insbesondere um reell-lineare Abbildungen. Dieser Eigenschaft sind wir schon bei komplexen Skalarprodukten begegnet.

Definition

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {C} }$-Vektorraum. Eine Abbildung

$V\times V\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

heißt Sesquilinearform, wenn für alle ${}v\in V$ die induzierten Abbildungen

$V\longrightarrow {\mathbb {C} },\,w\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

${}{\mathbb {C} }$-antilinear und für alle ${}w\in V$ die induzierten Abbildungen

$V\longrightarrow {\mathbb {C} },\,v\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

${}{\mathbb {C} }$-linear sind.

Wir fordern also die Linearität in der ersten und die Antilinearität in der zweiten Komponenten. Es gibt auch die andere Konvention.

Viele Begriffe und Aussagen übertragen sich mit leichten Abwandlungen von der reellen auf die komplexe Situation.

Definition

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {C} }$-Vektorraum zusammen mit einer Sesquilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$. Dann heißt die ${}n\times n$-Matrix

$\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle _{1\leq i,j\leq n}$

die Gramsche Matrix von ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis.

Wenn die Gramsche Matrix zu einer Sesquilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ gegeben ist, so kann man daraus ${}\left\langle v,w\right\rangle$ für beliebige Vektoren berechnen. Man schreibt ${}v=\sum _{i=1}^{n}b_{i}v_{i}$ und ${}w=\sum _{i=1}^{n}c_{i}v_{i}$ und erhält mit dem allgemeinen Distributivgesetz

${}{\begin{aligned}\left\langle v,w\right\rangle &=\left\langle \sum _{i=1}^{n}b_{i}v_{i},\sum _{j=1}^{n}c_{j}v_{j}\right\rangle \\&=\sum _{1\leq i,j\leq n}b_{i}{\overline {c_{j}}}\left\langle v_{i},w_{j}\right\rangle \\&=\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\left(\sum _{j=1}^{n}{\overline {c_{j}}}\left\langle v_{i},w_{j}\right\rangle \right)}\\&=(b_{1},\ldots ,b_{n})G{\begin{pmatrix}{\overline {c_{1}}}\\\vdots \\{\overline {c_{n}}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Man erhält also den Wert der Bilinearform an zwei Vektoren, indem man die Gramsche Matrix auf das Koordinatentupel des komplex-konjugierten zweiten Vektors anwendet und das Ergebnis (ein Spaltenvektor) mit dem Koordinatentupel des ersten Vektors als Zeilentupel von links multipliziert. Kurz und ungenau ist also

${}\left\langle v,w\right\rangle ={v^{\text{tr}}}G{\overline {w}}\,.$

Lemma

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {C} }$-Vektorraum mit einer Sesquilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Es seien ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{n}$ zwei Basen von ${}V$ und es seien ${}G$ bzw. ${}H$ die Gramschen Matrizen von ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basen. Zwischen den Basiselementen gelte die Beziehungen

${}w_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}v_{i}\,,$

die wir durch die Übergangsmatrix ${}A={\left(a_{ij}\right)}_{i,j}$ ausdrücken.

Dann besteht zwischen den Gramschen Matrizen die Beziehung

${}H={A^{\text{tr}}}G{\overline {A}}\,.$

Beweis

Es ist

${}{\begin{aligned}\left\langle w_{r},w_{s}\right\rangle &=\left\langle \sum _{j=1}^{n}a_{rj}v_{j},\sum _{k=1}^{n}a_{sk}v_{k}\right\rangle \\&=\sum _{1\leq j,k\leq n}a_{rj}{\overline {a_{sk}}}\left\langle v_{j},v_{k}\right\rangle \\&=\sum _{1\leq j\leq n}a_{rj}{\left(\sum _{1\leq k\leq n}{\overline {a_{sk}}}\left\langle v_{j},v_{k}\right\rangle \right)}\\&={\left({A^{\text{tr}}}\circ {\left(G\circ {\overline {A}}\right)}\right)}_{rs}.\end{aligned}}$

$\Box$

Bemerkung  

Die Menge der Sesquilinearformen auf einem ${}{\mathbb {C} }$-Vektorraum ${}V$ bilden einen ${}{\mathbb {C} }$-Vektorraum. Er wird mit ${}\operatorname {Sesq} _{}{\left(V\right)}$ bezeichnet.