Skalarprodukt/K/Einführung/Textabschnitt

Im ${}\mathbb {R} ^{n}$ kann man nicht nur Vektoren addieren und skalieren, sondern ein Vektor hat auch eine Länge, und die Lagebeziehung von zwei Vektoren zueinander wird durch den Winkel zwischen ihnen ausgedrückt. Länge und Winkel werden beide durch den Begriff des Skalarprodukts präzisiert. Dafür muss ein reeller Vektorraum oder ein komplexer Vektorraum vorliegen. Wir diskutieren die beiden Fälle parallel und verwenden als gemeinsame Bezeichnung für ${}\mathbb {R}$ bzw. ${}{\mathbb {C} }$ das Symbol ${}{\mathbb {K} }$. Zu ${}z\in {\mathbb {C} }$ bezeichnet ${}{\overline {z}}$ die konjungiert-komplexe Zahl, bei ${}z\in \mathbb {R}$ einfach die Zahl selbst.

Definition

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum. Ein Skalarprodukt auf ${}V$ ist eine Abbildung

$V\times V\longrightarrow {\mathbb {K} },\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

mit folgenden Eigenschaften:

1. Es ist

   ${}\left\langle \lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2},y\right\rangle =\lambda _{1}\left\langle x_{1},y\right\rangle +\lambda _{2}\left\langle x_{2},y\right\rangle \,$

   für alle ${}\lambda _{1},\lambda _{2}\in {\mathbb {K} }$, ${}x_{1},x_{2},y\in V$ und

   ${}\left\langle x,\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}\right\rangle ={\overline {\lambda _{1}}}\left\langle x,y_{1}\right\rangle +{\overline {\lambda _{2}}}\left\langle x,y_{2}\right\rangle \,$

   für alle ${}\lambda _{1},\lambda _{2}\in {\mathbb {K} }$, ${}x,y_{1},y_{2}\in V$.

2. Es ist

   ${}\left\langle v,w\right\rangle ={\overline {\left\langle w,v\right\rangle }}\,$

   für alle ${}v,w\in V$.

3. Es ist ${}\left\langle v,v\right\rangle \geq 0$ für alle ${}v\in V$ und ${}\left\langle v,v\right\rangle =0$ genau dann, wenn ${}v=0$ ist.

Die dabei auftretenden Eigenschaften heißen im reellen Fall Bilinearität (das ist nur eine andere Bezeichnung für multilinear, wenn der Definitionsbereich das Produkt von zwei Vektorräumen ist), Symmetrie und positive Definitheit. Im komplexen Fall spricht man von sesquilinear und von hermitesch. Diese auf den ersten Blick unschöne Abweichung muss gemacht werden, um die positive Definitheit zu erhalten, was wiederum die Voraussetzung für einen sinnvollen Abstandsbegriff im Komplexen ist.

Beispiel

Auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ ist die Abbildung

$\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(v,w)=({\left(v_{1},\ldots ,v_{n}\right)},{\left(w_{1},\ldots ,w_{n}\right)})\longmapsto \sum _{i=1}^{n}v_{i}w_{i},$

ein Skalarprodukt, das man das Standardskalarprodukt nennt. Einfache Rechnungen zeigen, dass dies in der Tat ein Skalarprodukt ist.

Beispielsweise ist im ${}\mathbb {R} ^{3}$ mit dem Standardskalarprodukt

${}\left\langle {\begin{pmatrix}3\\-5\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\4\\6\end{pmatrix}}\right\rangle =3\cdot (-1)-5\cdot 4+2\cdot 6=-11\,.$

Definition

Ein reeller, endlichdimensionaler Vektorraum, der mit einem Skalarprodukt versehen ist, heißt euklidischer Vektorraum.

Zu einem Vektorraum ${}V$ mit einem Skalarprodukt besitzt jeder Untervektorraum ${}U\subseteq V$ selbst wieder durch Einschränkung ein Skalarprodukt. Insbesondere ist zu einem euklidischen Vektorraum jeder Untervektorraum ${}U\subseteq V$ selbst wieder ein euklidischer Vektorraum. Jeder Untervektorraum ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ trägt somit das eingeschränkte Standardskalarprodukt. Da es stets eine Isomorphie ${}U\cong \mathbb {R} ^{m}$ gibt, kann man auch das Standardskalarprodukt des ${}\mathbb {R} ^{m}$ nach ${}U$ übertragen, doch hängt dies von der gewählten Isomorphie ab und hat im Allgemeinen nichts mit dem eingeschränkten Standardskalarprodukt zu tun.

Definition

Das auf dem ${}{\mathbb {C} }^{n}$ durch

${}\left\langle u,v\right\rangle :=\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\overline {v_{i}}}\,$

gegebene Skalarprodukt heißt (komplexes) Standardskalarprodukt.

Beispielsweise ist

${}{\begin{aligned}\left\langle {\begin{pmatrix}4-3{\mathrm {i} }\\2+7{\mathrm {i} }\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-2+5{\mathrm {i} }\\3-6{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\right\rangle &=(4-3{\mathrm {i} })\cdot {\overline {-2+5{\mathrm {i} }}}+(2+7{\mathrm {i} })\cdot {\overline {3-6{\mathrm {i} }}}\\&=(4-3{\mathrm {i} })\cdot (-2-5{\mathrm {i} })+(2+7{\mathrm {i} })\cdot (3+6{\mathrm {i} })\\&=-23-14{\mathrm {i} }-36+33{\mathrm {i} }\\&=-59+19{\mathrm {i} }.\end{aligned}}$

Bemerkung  

Wenn man einen komplexen Vektorraum ${}V$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ als reellen Vektorraum auffasst, so ist durch den Realteil

$\operatorname {Re} \,{\left(\left\langle v,w\right\rangle \right)}$

ein reelles Skalarprodukt gegeben, siehe Aufgabe. Wegen

${}{\begin{aligned}\left\langle v,w\right\rangle &=\operatorname {Re} \,{\left(\left\langle v,w\right\rangle \right)}+{\mathrm {i} }\operatorname {Im} \,{\left(\left\langle v,w\right\rangle \right)}\\&=\operatorname {Re} \,{\left(\left\langle v,w\right\rangle \right)}-{\mathrm {i} }\operatorname {Re} \,{\left({\mathrm {i} }\left\langle v,w\right\rangle \right)}\\&=\operatorname {Re} \,{\left(\left\langle v,w\right\rangle \right)}-{\mathrm {i} }\operatorname {Re} \,{\left(\left\langle iv,w\right\rangle \right)}\end{aligned}}$

kann man aus dem Realteil das ursprüngliche Skalarprodukt rekonstruieren.

Beispiel

Es sei ${}[a,b]$ ein abgeschlossenes reelles Intervall mit ${}a<b$ und sei

${}V={\left\{f:[a,b]\rightarrow {\mathbb {C} }\mid f{\text{ stetig}}\right\}}\,,$

versehen mit der punktweisen Addition und Skalarmultiplikation. Wir setzen

${}\left\langle f,g\right\rangle :=\int _{a}^{b}f(t){\overline {g(t)}}dt\,$

und erhalten damit ein Skalarprodukt auf ${}V$. Die Additivität folgt beispielsweise aus

${}\left\langle f_{1}+f_{2},g\right\rangle =\int _{a}^{b}(f_{1}(t)+f_{2}(t)){\overline {g(t)}}dt=\int _{a}^{b}f_{1}(t){\overline {g(t)}}dt+\int _{a}^{b}f_{2}(t){\overline {g(t)}}dt=\left\langle f_{1},g\right\rangle +\left\langle f_{2},g\right\rangle \,.$

Die positive Definitheit folgt so: Wenn ${}f$ nicht die Nullfunktion ist, so sei ${}s\in [a,b]$ ein Punkt mit ${}f(s)\neq 0$. Dann ist ${}\vert {f(s)}\vert >0$ und wegen der Stetigkeit von ${}f$ gibt es dann auch eine Umgebung ${}[s-\epsilon ,s+\epsilon ]\cap [a,b]$ der Länge ${}\geq \epsilon$, auf der überall

${}\vert {f(t)}\vert \geq c>0\,$

für ein gewisses ${}c\in \mathbb {R} _{+}$ ist (man kann ${}c={\frac {\vert {f(s)}\vert }{2}}$ nehmen). Somit ist

${}\left\langle f,f\right\rangle =\int _{a}^{b}\vert {f(t)}\vert ^{2}dt\geq \int _{\max {\left(a,s-\epsilon \right)}}^{\min {\left(b,s+\epsilon \right)}}\vert {f(t)}\vert ^{2}dt\geq \epsilon c^{2}>0\,$

positiv.