Spaltenstochastische Matrix/Positive Zeile/Konvergenz/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}w\in \mathbb {R} ^{n}$ die nach Fakt  (3) eindeutig bestimmte stationäre Verteilung und

${}U={\left\{{\begin{pmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}}\mid \sum _{i=1}^{n}u_{i}=0\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}\,.$

Dies ist ein Untervektorraum von ${}\mathbb {R} ^{n}$ der Dimension ${}n-1$. Nach Fakt  (2) hat ${}w$ ausschließlich nichtnegative Einträge und gehört damit nicht zu ${}U$. Wegen

${}{\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}(Mu)_{i}&=\sum _{i=1}^{n}{\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}u_{j}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}u_{j}{\left(\sum _{i=1}^{n}a_{ij}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}u_{j}\end{aligned}}$

ist ${}U$ invariant unter der Matrix ${}M$. Somit ist

${}V=U\oplus \mathbb {R} w\,$

eine direkte Summenzerlegung in invariante Untervektorräume. Für jedes ${}u\in U$ mit ${}\mid \mid \!u\!\mid \mid _{\operatorname {sum} }=1$ ist

${}\mid \mid \!Mu\!\mid \mid _{\operatorname {sum} }<1\,$

nach Fakt  (2). Da die Sphäre zum Radius ${}1$ bezüglich jeder Norm kompakt ist, ist die induzierte Maximumsnorm von ${}M{|}_{U}$ kleiner als ${}1$. Nach Fakt und Fakt konvergiert daher die Folge ${}M^{n}u$ für jedes ${}u\in U$ gegen den Nullvektor.

Es sei nun ${}v\in V$ ein Verteilungsvektor, den wir wegen

${}\sum _{i=1}^{n}v_{i}=1=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\,$

als

${}v=w+u\,$

mit ${}u\in U$ schreiben können. Wegen

${}M^{n}v=M^{n}(w+u)=M^{n}w+M^{n}u=w+M^{n}u\,$

und der Vorüberlegung konvergiert diese Folge gegen ${}w$.

Zur bewiesenen Aussage