Spezielle lineare Gruppe/Z/2/Kongruenzuntergruppen/Einführung/Textabschnitt

Wir möchten eine Reihe von Untergruppen der speziellen linearen Gruppe ${}\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}$ einführen, die durch gewisse modulare Bedingungen charakterisiert sind und Kongruenzuntergruppen heißen. Es sei eine natürliche Zahl ${}N$ fixiert. Zunächst induziert der Ringhomomorphismus ${}\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /(N)$ einen Gruppenhomomorphismus

$\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\longrightarrow \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} /(N)\right)},$

bei dem einfach sämtliche Einträge modulo ${}N$ genommen werden. Da die Matrizenmultiplikation und die Determinante durch polynomiale Ausdrücke gegeben sind, folgt direkt, dass dies ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus ist.

Definition

Es sei ${}N\in \mathbb {N}$. Die Untergruppe

$\Gamma (N)={\left\{M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\mid M=E_{2}\mod N\right\}}={\left\{M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\mid a,d=1\mod N,\,b,c=0\mod N\right\}}\subseteq \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\,$

heißt Hauptkongruenzgruppe zur Stufe ${}N$.

Es geht also einfach um die Matrizen, deren Diagonalelemente modulo ${}N$ zu ${}1$ und deren Nebendiagonalelemente modulo ${}N$ zu ${}0$ werden. Als Kern eines Gruppenhomomorphismus handelt es sich um eine Untergruppe und um einen Normalteiler. Da die Bildgruppe bei ${}N\geq 1$ endlich ist und die spezielle lineare Gruppe unendlich, ist ${}\Gamma (N)$ unendlich. Beispielsweise ist ${}{\begin{pmatrix}N+1&N\\-N&1-N\end{pmatrix}}\in \Gamma (N)$.

Wir interessieren uns nun für Untergruppen

${}\Gamma (N)\subseteq \Gamma \subseteq \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\,,$

wovon es bei gegebenem ${}N$ endlich viele gibt. Solche Untergruppen nennt man Kongruenzuntergruppen. Neben der Hauptkongruenzgruppe erwähnen wir die folgenden.

Definition

Es sei ${}N\in \mathbb {N}$. Die Untergruppe

${}\Gamma _{0}(N)={\left\{M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\mid c=0\mod N\right\}}\subseteq \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\,$

heißt Hecke-Kongruenzgruppe zur Stufe ${}N$.

Definition

Zu ${}N\in \mathbb {N}$ setzt man

$\Gamma _{1}(N)={\left\{M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma _{0}(N)\mid a=1\mod N\right\}}={\left\{M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\mid a=d=1\mod N,\,c=0\mod N\right\}}\subseteq \operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\,.$

Es ist

${}\Gamma (N)\subseteq \Gamma _{1}(N)\subseteq \Gamma _{0}(N)\,.$

Bei ${}N\geq 2$ ist beispielsweise ${}{\begin{pmatrix}1&N\\0&1\end{pmatrix}}\in \Gamma (N)$, ${}T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}\in \Gamma _{1}(N)$, aber ${}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}\notin \Gamma (N)$, ${}{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\in \Gamma _{0}(N)$, aber ${}{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\notin \Gamma _{1}(N)$. Ferner ist ${}S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}\notin \Gamma _{1}(N)$.