Spezielle unitäre Gruppe/Realisierung/Dimension 2/Textabschnitt

In den oben aufgelisteten endlichen Untergruppen der ${}\operatorname {SL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ sind die (erzeugenden) Matrizen von der Form

${\begin{pmatrix}u&-{\overline {v}}\\v&{\overline {u}}\end{pmatrix}},$

d.h. es handelt sich um unitäre Matrizen. Wir erinnern an die entsprechenden Begrifflichkeiten. Das Standardskalarprodukt auf dem ${}{\mathbb {C} }^{n}$ ist durch

${}\left\langle w,z\right\rangle =\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\overline {z_{i}}}\,$

definiert. Eine lineare Abbildung ${}f\colon {\mathbb {C} }^{n}\rightarrow {\mathbb {C} }^{n}$ heißt unitär, wenn sie das Standardskalarprodukt respektiert, wenn also

${}\left\langle f(w),f(z)\right\rangle =\left\langle w,z\right\rangle \,$

für alle ${}w,z\in {\mathbb {C} }^{n}$ gilt. Dies ist das komplexe Analogon zu den Isometrien im Reellen.

Definition

Der ${}{\mathbb {C} }^{n}$ sei mit dem komplexen Standardskalarprodukt versehen. Die Menge aller unitären linearen Abbildungen ${}f\colon {\mathbb {C} }^{n}\rightarrow {\mathbb {C} }^{n}$ bilden eine Gruppe, die die unitäre Gruppe heißt. Sie wird mit ${}\operatorname {U} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ bezeichnet.

Definition

Der ${}{\mathbb {C} }^{n}$ sei mit dem komplexen Standardskalarprodukt versehen. Die Menge aller unitären linearen Abbildungen ${}f\colon {\mathbb {C} }^{n}\rightarrow {\mathbb {C} }^{n}$ mit Determinante ${}1$ bilden eine Gruppe, die die spezielle unitäre Gruppe heißt. Sie wird mit ${}\operatorname {SU} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$ bezeichnet.

Lemma

Das einzige Element aus ${}\operatorname {SU} _{2}\!{\left(C\right)}$ der Ordnung ${}2$ ist ${}{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$.

Beweis

Sei

${}M={\begin{pmatrix}u&-{\overline {v}}\\v&{\overline {u}}\end{pmatrix}}\,$

mit ${}u=a+b{\mathrm {i} }$ , ${}v=c+d{\mathrm {i} }$ und mit ${}M^{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$. Das bedeutet

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}u&-{\overline {v}}\\v&{\overline {u}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u&-{\overline {v}}\\v&{\overline {u}}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}u^{2}-v{\overline {v}}&-u{\overline {v}}-{\overline {u}}{\overline {v}}\\uv+{\overline {u}}v&-v{\overline {v}}+{\overline {u}}{\overline {u}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Wir nehmen zunächst ${}v\neq 0$ an. Daraus folgt ${}u+{\overline {u}}=0$, also ist der Realteil von ${}u$ gleich ${}0$. Daher ist ${}u$ imaginär und sein Quadrat ist negativ. Dann ist aber auch ${}u^{2}-v{\overline {v}}$ negativ und nicht gleich ${}1$. Also ist ${}v=0$. Dann ist ${}u^{2}=1$ und somit ist ${}u=\pm 1$.

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