Sprinter/Ansatz/Aufgabe/Lösung

1. Es ist

   ${}v'=av+b\,.$

   Die Funktion

   ${}z(t)=e^{at}\,$

   ist eine Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung. Nach Fakt müssen wir daher eine Stammfunktion zu ${}be^{-at}$ bestimmen. Diese sind durch ${}-{\frac {b}{a}}e^{-at}+c$ gegeben. Also ist die Lösung des Anfangswertproblems gleich

   ${}v(t)={\frac {b}{a}}{\left(e^{at}-1\right)}\,.$

2. Die Stammfunktionen zu ${}v(t)$ sind

   ${\frac {b}{a^{2}}}e^{at}-{\frac {b}{a}}t+d,$

   die Lösung des Anfangswertproblems ist

   ${}y(t)={\frac {b}{a^{2}}}e^{at}-{\frac {b}{a}}t-{\frac {b}{a^{2}}}\,.$

3. Für die angegebenen Werte ist

   ${}y(t)=-{\frac {b}{a}}t+{\frac {b}{a^{2}}}e^{at}-{\frac {b}{a^{2}}}=12t+36e^{-t/3}-36\,.$

   Zum Zeitpunkt ${}1$ befindet er sich in

   ${}12+36e^{-1/3}-36\cong 12+36\cdot 0,72-36\cong 1,9\,$

   (Entfernung in Meter vom Start), zum Zeitpunkt ${}10$ befindet er sich in

   ${}12\cdot 10+36e^{-10/3}-36\cong 120+36\cdot 0,04-36\cong 85,4\,.$

   Für die Geschwindigkeiten gilt (in Meter pro Sekunde)

   ${}v(1)=-12{\left(e^{-1/3}-1\right)}\cong 12\cdot 0,28=3,36\,$

   und

   ${}v(10)=-12{\left(e^{-10/3}-1\right)}\cong 12\cdot 0,96=11,52\,.$

Zur gelösten Aufgabe