Stammfunktion/Rationale Funktion/x^3-x+5 durch x^4+x^2/Beispiel

Wir möchten eine Stammfunktion zu

${}f(x)={\frac {x^{3}-x+5}{x^{4}+x^{2}}}\,$

bestimmen. Nach Beispiel ist die reelle Partialbruchzerlegung gleich

${}{\frac {x^{3}-x+5}{x^{2}(x^{2}+1)}}=-{\frac {1}{x}}+{\frac {5}{x^{2}}}+{\frac {2x-5}{x^{2}+1}}\,.$

Als Stammfunktion ergibt sich daher

$-\ln \vert {x}\vert -5x^{-1}+\ln \left(x^{2}+1\right)-5\arctan x.$