Standard-graduierter Ring/K/Modul/Hilbertfunktion/Polynomial/Fakt/Beweis

Beweis

Zunächst sind nach Fakt die Stufen ${}M_{d}$ endlichdimensional, so dass die Hilbertfunktion wohldefiniert ist. Nach Voraussetzung ist das irrelevante Ideal ${}R_{+}=\bigoplus _{d\geq 1}R_{d}$ endlich erzeugt, und zwar wird es von Elementen aus ${}R_{1}$ erzeugt. Wir führen Induktion über die Erzeugendenanzahl ${}r$ dieses Ideals. Bei ${}r=0$ ist ${}R=R_{0}=K$ ein Körper und ${}M$ ist als ganzes ein endlichdimensionaler Vektorraum. Deshalb sind alle Stufen ${}M_{d}$ zu hinreichend großen ${}d$ gleich ${}0$. Zum Induktionsschluss sei ${}R_{+}=(f_{1},\ldots ,f_{r})$ und ${}M$ ein endlicher erzeugter graduierter ${}R$-Modul. Der Restklassenring ${}S=R/(f_{r})$ ist ebenfalls standard-graduiert und sein irrelevantes Ideal besitzt einen Erzeuger weniger, auf ihn können wir also die Induktionsvoraussetzung anwenden. Der Restklassenmodul ${}N=M/(f_{r})M$ ist (ein graduierter ${}R$- und damit auch) ein graduierter ${}S$-Modul. Folglich gibt es ein Polynom

${}Q\in \mathbb {Q} [X]\,$

mit ${}H_{N}(d)=Q(d)$ für ${}d$ hinreichend groß. Es liegt eine exakte Sequenz

$0\longrightarrow L={\left\{m\in M\mid f_{r}\cdot m=0\right\}}\longrightarrow M{\stackrel {\cdot f_{r}}{\longrightarrow }}M(1)\longrightarrow {\left(M/f_{r}M\right)}(1)\longrightarrow 0$

von graduierten endlich erzeugten ${}R$-Moduln vor. Dabei ist der Modul links ebenfalls ein ${}S$-Modul, und somit gibt es nach Induktionsvoraussetzung ein weiteres Polynom ${}T\in \mathbb {Q} [X]$ mit ${}H_{L}(d)=T(d)$ für ${}d$ hinreichend groß. Da sich die Vektorraumdimensionen für exakte Komplexe von ${}K$-Vektorräumen additiv verhalten, gilt

${}H_{M}(d+1)-H_{M}(d)=H_{N}(d)-H_{L}(d)=Q(d)-T(d)\,$

für ${}d$ hinreichend groß. Ab einem gewissen ${}d_{0}$ verhält sich also der Zuwachs von ${}H_{M}(d)$ polynomial und daher ist nach Fakt die Funktion ${}H_{M}(d)$ selbst polynomial.

Zur bewiesenen Aussage