Es sei
eine Homotopie zwischen f {\displaystyle {}f} und g {\displaystyle {}g} und sei γ : [ 0 , 1 ] → X {\displaystyle {}\gamma \colon [0,1]\rightarrow X} ein geschlossener stetiger Weg. Dann ist
eine Homotopie zwischen f ∘ γ {\displaystyle {}f\circ \gamma } und g ∘ γ {\displaystyle {}g\circ \gamma } . Es ist ja
und
Deshalb ist
in π 1 ( Y , y 0 ) {\displaystyle {}\pi _{1}(Y,y_{0})} für jeden Weg γ {\displaystyle {}\gamma } und somit ist π ( f ) = π ( g ) {\displaystyle {}\pi (f)=\pi (g)} .
![{\displaystyle H\colon X\times [0,1]\longrightarrow Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45d3d0f5adf7f6dbe016ad9baba6b0d5bed794e0)
und 
und sei
![{\displaystyle {}\gamma \colon [0,1]\rightarrow X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/623ee68f4fb41a6f3494b0294752c222a4a5e7eb)
ein
geschlossener
stetiger Weg.
Dann ist
![{\displaystyle {\tilde {H}}=H\circ (\gamma \times \operatorname {Id} _{[0,1]})\colon [0,1]\times [0,1]\longrightarrow Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1992d56c1d656d0eb57374281735614965f6650)
und 
.
Es ist ja
![{\displaystyle {}{\tilde {H}}(s,0)=H((\gamma \times \operatorname {Id} _{[0,1]})(s,0))=H(\gamma (s),0)=f(\gamma (s))\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0626379facd4ad006633eb44665a32b73f4d226)
![{\displaystyle {}{\tilde {H}}(s,1)=H((\gamma \times \operatorname {Id} _{[0,1]})(s,1))=H(\gamma (s),1)=g(\gamma (s))\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6d09104c43599342f7b7f9a8404206a465eeae4)
![{\displaystyle {}{\tilde {H}}(0,t)=H((\gamma \times \operatorname {Id} _{[0,1]})(0,t))=H(\gamma (0),t)=H(x_{0},t)=y_{0}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8a3a959b19b80e3aacb40d6203011937890d393)
![{\displaystyle {}{\tilde {H}}(1,t)=H((\gamma \times \operatorname {Id} _{[0,1]})(1,t))=H(\gamma (1),t)=H(x_{0},t)=y_{0}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a40ca2f1c516d864ce22a19d994610855753eb2c)
![{\displaystyle {}[f\circ \gamma ]=[g\circ \gamma ]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f858186d8ea0bbb0e972f3d408becf7bfeac25f8)
für jeden Weg 
und somit ist
.
