Stetige Funktion/Stückweise stetig differenzierbar/Fourierentwicklung/Gleichmäßige Konvergenz/Fakt/Beweis
Beweis
Es sei die Periodenlänge. Die stückweise existierende Ableitung von ist stückweise stetig und ebenfalls periodisch, daher gibt es eine Fourierentwicklung
Dabei ist
Es ist
wobei die Abschätzung rechts summandenweise auf beruht. Nach der Besselschen Abschätzung sind die Betragsquadrate summierbar und nach Beispiel sind die Quadrate der Stammbrüche summierbar und somit sind die Beträge der Fourierkoeffizienten zu summierbar. Da die Beträge der Exponentialfunktionen auf durch beschränkt sind, ergibt sich die gleichmäßige Konvergenz aus Fakt.