Stetige Funktion/Stückweise stetig differenzierbar/Fourierentwicklung/Gleichmäßige Konvergenz/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei die Periodenlänge. Die stückweise existierende Ableitung von ist stückweise stetig und ebenfalls periodisch, daher gibt es eine Fourierentwicklung

Dabei ist

Es ist

wobei die Abschätzung rechts summandenweise auf beruht. Nach der Besselschen Abschätzung sind die Betragsquadrate summierbar und nach Beispiel sind die Quadrate der Stammbrüche summierbar und somit sind die Beträge der Fourierkoeffizienten zu summierbar. Da die Beträge der Exponentialfunktionen auf durch beschränkt sind, ergibt sich die gleichmäßige Konvergenz aus Fakt.