Symmetrische Bilinearform/Orthogonalbasis/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}A$ der Ausartungsraum der Bilinearform und ${}U$ ein direktes Komplement, also

${}V=A\oplus U\,.$

Dabei ist die Einschränkung der Bilinearform auf ${}U$ nicht ausgeartet. Es sei ${}w_{1},\ldots ,w_{s}$ eine Basis von ${}A$ und ${}v_{1},\ldots ,v_{m}$ eine Basis von ${}U$. Die Vektoren ${}w_{i}$ können wir auf jeden Fall als Teil einer Orthogonalbasis nehmen, da diese ja auf allen Vektoren orthogonal stehen. Wir müssen uns also nur noch um ${}U$ kümmern. Das bedeutet, dass wir gleich annehmen können, dass wir eine nichtausgeartete symmetrische Bilinearform auf ${}V$ haben. Wegen der Polarisationsformel gibt es dann auch ${}v\in V$ mit

${}\left\langle v,v\right\rangle \neq 0\,.$

Der Orthogonalraum zu ${}v$ besitzt deshalb und wegen der Eigenschaft, nicht ausgeartet zu sein, die Dimension ${}\dim _{K}{\left(V\right)}-1$. Dieser Orthogonalraum ist ebenfalls nicht ausgeartet, daher gibt es nach Induktion über die Dimension eine Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ mit

${}\left\langle v_{i},v_{i}\right\rangle \neq 0\,.$

Eine solche Basis lässt sich in folgender Weise orthogonalisieren, und zwar kann man eine Orthogonalbasis ${}v_{1}',\ldots ,v_{n}'$ finden mit

${}\langle v_{1},\ldots ,v_{i}\rangle =\langle v_{1}',\ldots ,v_{i}'\rangle \,$

für alle ${}i$. Dies zeigen wir durch Induktion, seien ${}v_{1}',\ldots ,v_{i}'$ schon konstruiert. Wir setzen

${}c_{j}:=\left\langle v_{j},v_{i+1}\right\rangle \,$

und setzen

${}v_{i+1}'=v_{i+1}-\sum _{j=1}^{i}{\frac {c_{j}}{\left\langle v_{j},v_{j}\right\rangle }}v_{j}\,.$

Dann ist für ${}k\leq i$

${}\left\langle v_{i+1}^{'},v_{k}\right\rangle =\left\langle v_{i+1}-\sum _{j=1}^{i}{\frac {c_{j}}{\left\langle v_{j},v_{j}\right\rangle }}v_{j},v_{k}\right\rangle =\left\langle v_{i+1},v_{k}\right\rangle -{\frac {c_{k}}{\left\langle v_{k},v_{k}\right\rangle }}\left\langle v_{k},v_{k}\right\rangle =0\,.$

Zur bewiesenen Aussage