Symmetrische Polynome/Körper/Hauptsatz/Fakt/Beweis

Beweis

Wir führen Induktion über die gradlexikographische Ordnung. Zur Existenz. Es sei ${}F$ ein symmetrisches Polynom. Es sei ${}X_{1}^{a_{1}}\cdots X_{n}^{a_{n}}$ das Leitmonom von ${}F$ (mit dem Koeffizienten ${}c\neq 0$) Es ist ${}a_{i+1}\leq a_{i}$ für alle ${}i$. Andernfalls nämlich betrachtet man die Permutation, die ${}X_{i+1}$ und ${}X_{i}$ vertauscht. Das resultierende Monom muss wegen der Symmetrie ebenfalls in ${}F$ vorkommen, wäre aber größer in der gradlexikographischen Ordnung.

Wir betrachten das Polynom

${}G=F-cE_{1}^{a_{1}-a_{2}}E_{2}^{a_{2}-a_{3}}\cdots E_{n-1}^{a_{n-1}-a_{n}}E_{n}^{a_{n}}\,.$

Dabei treten rechts die elementarsymmetrischen Polynome mit nichtnegativen Exponenten auf. Das Polynom rechts enthält ebenfalls ${}X_{1}^{a_{1}}\cdots X_{n}^{a_{n}}$ als Leitmonom: Hierzu muss man sich die Monome in ${}E_{i}$ klar machen. Das Leitmonom von ${}E_{i}$ ist ${}X_{1}\cdots X_{i}$ und das Leitmonom von ${}E_{i}^{k}$ ist ${}(X_{1}\cdots X_{i})^{k}$ (das Leitmonom ist multiplikativ, siehe Aufgabe). Daher hat das Polynom rechts das Leitmonom

$X_{1}^{a_{1}-a_{2}}\cdot (X_{1}X_{2})^{a_{2}-a_{3}}\cdots (X_{1}\cdots X_{n-1})^{a_{n-1}-a_{n}}\cdot (X_{1}\cdots X_{n})^{a_{n}}=X_{1}^{a_{1}}X_{2}^{a_{2}}\cdots X_{n-1}^{a_{n-1}}X_{n}^{a_{n}}\,.$

In der Differenz ${}G$ verschwindet also dieses Monom, d.h. ${}G$ hat einen kleineren Grad in der gradlexikographischen Ordung. Da ${}G$ ebenfalls symmetrisch ist, liefert die Induktionsvoraussetzung die Behauptung.
Zur Eindeutigkeit. Wir zeigen, dass die elementarsymmetrischen Polynome algebraisch unabhängig sind. Es sei also

${}H(E_{1},\ldots ,E_{n})=0\,,$

wobei ${}H\neq 0$ ein Polynom in den ${}n$ Variablen ${}Y_{1},\ldots ,Y_{n}$ sei. Wir schreiben ${}H$ als Summe von Monomen der Form

$Y_{1}^{a_{1}-a_{2}}Y_{2}^{a_{2}-a_{3}}\cdots Y_{n}^{a_{n}}$

mit ${}a_{1}\geq \ldots \geq a_{n}$. Es sei ${}(a_{1},\ldots ,a_{n})$ dasjenige Tupel mit

${}a_{i}\geq a_{i+1}\,,$

das in der gradlexikographischen Ordnung maximal ist unter allen Tupeln, für die ${}Y_{1}^{a_{1}-a_{2}}Y_{2}^{a_{2}-a_{3}}\cdots Y_{n}^{a_{n}}$ in ${}H$ vorkommt (es werden also die ${}a$ verglichen, nicht die Differenzen). Dann besitzt ${}H(E_{1},\ldots ,E_{n})$ als Polynom in ${}X$ das Leitmonom ${}X_{1}^{a_{1}}\cdots X_{n}^{a_{n}}$ und wäre nicht ${}0$.

Zur bewiesenen Aussage