Tangentialbündel/Algebraisch/Beispiele/Textabschnitt

Beispiel

Zur Gleichung

${}X^{2}=Y^{3}\,$

gehört die Gleichung für die Differentiale

${}2XdX=3Y^{2}dY\,.$

Wir schreiben ${}A=2dX$ und ${}B=3dY$ und erhalten das Gleichungssystem

$X^{2}=Y^{3},\,XA-Y^{2}B.$

Es ist

${}{\begin{aligned}Y^{2}(YA-XB)&=Y^{3}A-XY^{2}B\\&=X^{2}A-XY^{2}B\\&=X(XA-Y^{2}B)\end{aligned}}$

und somit ist, wenn ${}Y$ ein Nichtnullteiler ist, auch ${}YA=XB$. Wegen

${}{\begin{aligned}(YA-XB)^{2}&=Y^{2}A^{2}+X^{2}B^{2}-2YAXB\\&=Y^{2}A^{2}+Y^{3}B^{2}-2Y^{3}B^{2}\\&=Y^{2}A^{2}-Y^{3}B^{2}\\&=Y^{2}(A^{2}-YB^{2})\end{aligned}}$

sieht man, dass die Primideale ${}(X,Y)$ und ${}(X^{2}-Y^{3},A^{2}-YB^{2})$ die Komponenten der Varietät bilden, ihr Durchschnitt ist die durch ${}(X,Y,A)$ gegebene Gerade. Die Parametrisierung ${}X=T^{3}$ und ${}Y=T^{2}$ liefert wegen ${}dX=3T^{2}dT$ und ${}dY=2TdT$ die (bis auf einen Faktor) Liftung ${}A=T^{2}$ und ${}B=T$.

Beispiel

Wir betrachten die durch

${}Y^{2}=X^{3}+X^{2}\,$

gegebene Kurve. Für die Differentiale gilt die Beziehung

${}2YdY=(3X^{2}+2X)dX\,.$

Durch Quadrieren ergibt sich

${}4Y^{2}(dY)^{2}=X^{2}(3X+2)^{2}(dX)^{2}\,.$

Wir können ${}Y^{2}$ ersetzen und, um die horizontale Komponente zu bestimmen, durch ${}X^{2}$ dividieren, und erhalten

${}4(X+1)(dY)^{2}=(3X+2)^{2}(dX)^{2}\,.$

Die Schnittmenge dieser Komponente mit dem Tangentialraum über der Singularität ist daher das Achsenkreuz

${}(dY+dX)(dY-dX)=0\,.$

Beispiel

Wir betrachten die Minoren zu

${\begin{pmatrix}X&Y&Z\\Y&Z&W\end{pmatrix}},$

also das Ideal

$(Y^{2}-XZ,YW-Z^{2},XW-ZY)$

und den Restklassenring

${}R=K[X,Y,Z,W]/(Y^{2}-XZ,YW-Z^{2},XW-ZY)\,.$

Zwischen den Erzeugern besteht beispielsweise die Beziehung

${}X(YW-Z^{2})-Y(XW-ZY)=-XZ^{2}+ZY^{2}=Z(-XZ+Y^{2})\,.$

Die Gleichungen für die Differentiale sind

$(-ZdX+2YdY-XdZ,WdY-2ZdZ+YdW,WdX-ZdY-YdZ+XdW).$

Zwischen diesen drei Erzeugern besteht eine Relation mit den Koeffizienten ${}(Z,-X,Y)$.

Es ist

${}{\begin{aligned}Z(-ZdX+2YdY-XdZ)&=-Z^{2}dX+2YZdY-XZdZ\\&=-YWdX+2YZdY-Y^{2}dZ\\&=Y(-WdX+2ZdY-YdZ).\end{aligned}}$

Die rechte Seite muss auf der horizontalen Komponente verschwinden. Durch Addition mit dem dritten Differential ergibt sich

$ZdY-2YdZ+XdW.$

Es ist im rationalen Sinn

${}dZ=-{\frac {Z}{X}}dX+2{\frac {Y}{X}}dY\,$

und

${}{\begin{aligned}dW&=-{\frac {W}{X}}dX+{\frac {Z}{X}}dY+{\frac {Y}{X}}dZ\\&=-{\frac {W}{X}}dX+{\frac {Z}{X}}dY+{\frac {Y}{X}}{\left(-{\frac {Z}{X}}dX+2{\frac {Y}{X}}dY\right)}\\&=-{\left({\frac {W}{X}}+{\frac {YZ}{X^{2}}}\right)}dX+{\left({\frac {Z}{X}}+2{\frac {Y^{2}}{X^{2}}}\right)}dY.\end{aligned}}$

Es ist

${}A_{X}\cong R_{X}[dX,dY]\,.$

Der Kern der Abbildung

$A\longrightarrow A_{X}$

besteht aus allen

$\alpha dX+\beta dY+\gamma dZ+\delta dW$

mit

${}\alpha -{\frac {Z}{X}}\gamma -{\frac {WX+YZ}{X^{2}}}\delta =0\,$

und

${}\beta -2{\frac {Y}{X}}\gamma +{\frac {XZ+2Y^{2}}{X^{2}}}\delta =0\,.$