Teilbarkeitstheorie (Z)/Primzahl erfüllt Primelementeigenschaft/Fakt/Beweis3

Beweis

Wir setzen voraus, dass ${}a$ kein Vielfaches von ${}p$ ist (andernfalls sind wir fertig). Dann müssen wir zeigen, dass ${}b$ ein Vielfaches von ${}p$ ist. Unter der gegebenen Voraussetzung sind ${}a$ und ${}p$ teilerfremd. Nach dem Lemma von Bezout gibt es ganze Zahlen ${}r,s$ mit

${}ra+sp=1\,$

Da ${}ab$ ein Vielfaches von ${}p$ ist, gibt es ein ${}t$ mit

${}ab=tp\,.$

Daher ist

${}b=b\cdot 1=b(ra+sp)=abr+bsp=tpr+bsp=p{\left(tr+bs\right)}\,.$

Also ist ${}b$ ein Vielfaches von ${}p$.

Zur bewiesenen Aussage