Tensorprodukt/Abbildungsräume/Produktmenge/Motivation/Passt zur Konstruktion/Bemerkung

Wir verbinden das motivierende Beispiel mit der allgemeinen Konstruktion des Tensorproduktes. Die Abbildung (mit der direkten Bedeutung von ${}f\otimes g$ aus dem Beispiel)

$\operatorname {Abb} \,{\left(I,K\right)}\times \operatorname {Abb} \,{\left(J,K\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(I\times J,K\right)},\,(f,g)\longmapsto f\otimes g,$

ist nach Aufgabe multilinear. Nach Fakt  (2) gibt es daher eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

$\operatorname {Abb} \,{\left(I,K\right)}\otimes _{K}\operatorname {Abb} \,{\left(J,K\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(I\times J,K\right)},$

wobei sich die Tensorprodukte entsprechen. Die Surjektivität ergibt sich daraus, dass die Basiselemente ${}e_{(i,j)}$ im Bild liegen. Die Injektivität ergibt sich aus Fakt.