Tensorprodukt/Vektorraum/Universelle Eigenschaft/Fakt/Beweis

Beweis

(1) folgt unmittelbar aus der Definition des Tensorprodukts. (2). Da die ${}v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{n}$ ein ${}K$-Erzeugendensystem von ${}V_{1}\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}V_{n}$ sind und

${}{\bar {\psi }}(v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{n})=\psi (v_{1},\ldots ,v_{n})\,$

gelten muss, kann es maximal eine solche lineare Abbildung geben. Zur Existenz betrachten wir den ${}K$-Vektorraum ${}F$ aus der Konstruktion des Tensorproduktes. Die ${}e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}$ bilden eine Basis von ${}F$, daher legt die Vorschrift

${}{\tilde {\psi }}{\left(e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}\right)}:=\psi (v_{1},\ldots ,v_{n})\,$

eine lineare Abbildung

${\tilde {\psi }}\colon F\longrightarrow W$

fest. Wegen der Multilinearität von ${}\psi$ wird der Untervektorraum ${}U$ auf ${}0$ abgebildet. Daher induziert diese Abbildung nach dem Faktorisierungssatz eine ${}K$-lineare Abbildung

${\overline {\psi }}\colon F/U\cong V_{1}\otimes _{K}\cdots \otimes _{K}V_{n}\longrightarrow W.$

Zur bewiesenen Aussage