(1) folgt unmittelbar aus der Definition des
Tensorprodukts.
(2). Da die
ein
-Erzeugendensystem
von
sind und
-
![{\displaystyle {}{\bar {\psi }}(v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{n})=\psi (v_{1},\ldots ,v_{n})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/227ddf0afc66e1a59bee1a4982ec72834691e927)
gelten muss, kann es maximal eine solche lineare Abbildung geben. Zur Existenz betrachten wir den
-Vektorraum
aus der Konstruktion des Tensorproduktes. Die
bilden eine
Basis
von
, daher legt die Vorschrift
-
![{\displaystyle {}{\tilde {\psi }}{\left(e_{(v_{1},\ldots ,v_{n})}\right)}:=\psi (v_{1},\ldots ,v_{n})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d0397cb6faf8f5dcfc70fb22bdab2757b51cdbb)
eine lineare Abbildung
-
fest. Wegen der
Multilinearität
von
wird der Untervektorraum
auf
abgebildet. Daher induziert diese Abbildung nach
dem Faktorisierungssatz
eine
-lineare Abbildung
-