Topologische Mannigfaltigkeit/Lokal konstante Funktionen/Erste Kohomologieklasse/Trivialität mit geschlossenen Wegen/Fakt/Beweis

Beweis

Die Hinrichtung ist klar. Für die Rückrichtung verwenden wir Fakt. Es sei ${}z$ ein repräsentierender Kozykel der Klasse. Aus der Eigenschaft, dass ${}\int _{\gamma }z$ für alle geschlossenen Wege gleich ${}0$ ist, folgt, dass die Auswertung ${}\int _{\gamma }z$ für jeden Weg nur vom Anfangs- und Endpunkt abhängt (zwei Wege ergeben einen geschlossenen Weg, indem man den zweiten in umgekehrter Richtung durchläuft). In jede topologische Kette lässt sich ein stetiger Weg hineinlegen derart, dass die Auswertung des Kozykels an der Kette mit der Auswertung des Kozykels am Weg übereinstimmt. Daher hängt die Auswertung längs der Kette auch nur von der Anfangs- und der Endmenge ab.

Zur bewiesenen Aussage