Topologische Mannigfaltigkeit/Lokal konstante Funktionen/Erster Kozykel/Trivialität mit Ketten/Fakt

Es sei ${}X$ eine topologische Mannigfaltigkeit und sei ${}z\in {\check {Z}}^{1}(X,{\mathbb {K} })$ ein erster Čech-Kozykel in der Garbe der lokal konstanten Funktionen auf ${}X$ mit Werten in ${}{\mathbb {K} }$, der durch ${}f_{ij}$ zur Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ mit ${}U_{i}$ zusammenhängend repräsentiert sei.

Dann gilt für die zugehörige Kohomologieklasse ${}[z]=0$ genau dann, wenn für jede topologische Kette ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ zur Überdeckung und jede Auswahl von Punkten ${}P_{k}\in V_{k}\cap V_{k+1}$ die Summe ${}\sum _{k=1}^{n-1}f_{\alpha (k+1)\alpha (k)}(P_{k})$ nur von ${}V_{1}$ und ${}V_{n}$ abhängt.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen