Topologische Mannigfaltigkeit/Lokal konstante Funktionen/Erster Kozykel/Stetiger Weg/Auswertung/Definition

Auswertung eines Kozykels längs eines Weges

Es sei ${}X$ eine topologische Mannigfaltigkeit und sei ${}z\in {\check {Z}}^{1}(X,{\mathbb {K} })$ ein erster Čech-Kozykel in der Garbe der lokal konstanten Funktionen auf ${}X$ mit Werten in ${}{\mathbb {K} }$, der durch ${}f_{ij}$ zur Überdeckung ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ mit ${}U_{i}$ zusammenhängend repräsentiert sei. Zu einem stetigen Weg

$\gamma \colon [0,1]\longrightarrow X$

definiert man die Auswertung des Kozykels längs des Weges in folgender Weise. Man wählt eine topologische Kette ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ aus der Überdeckung mit ${}\gamma (0)\in V_{1}$ und ${}\gamma (1)\in V_{n}$ und Punkte ${}P_{k}\in V_{k}\cap V_{k+1}\cap \gamma ([0,1])$ und setzt

${}\int _{\gamma }z:=\sum _{k=1}^{n-1}f_{\alpha (k+1),\alpha (k)}(P_{k})\,.$