Topologische Mannigfaltigkeit/Lokal konstante Funktionen/Erster Kozykel/Stetiger Weg/Auswertung/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis
  1. Es sei eine gewählte topologische Kette um den Weg. Die Auswertung ist zunächst einmal unabhängig von der Wahl der Punkte , da der Ausschnitt des Weges zusammenhängend ist. Es sei eine zusätzliche offene Umgebung (aus der Überdeckung), die trifft, und mit der wir die Kette erweitern wollen. Es sei . Bei können wir die Kette zu abändern. Für die beiden Übergänge können wir den gleichen Punkt wählen und erhalten den gleichen Funktionswert mit unterschiedlichem Vorzeichen (da sich die Reihenfolge des Überganges ändert), was sich weghebt. Es sei nun . Wir betrachten die abgeänderte Kette Wir können davon ausgehen, dass zu den drei Mengen gehört. Die Gesamtänderung der Auswertung bei dieser Abänderung ist dann

    In dieser Weise können wir sukzessive von jeder Kette zu jeder Kette übergehen. Wenn man die Klasse durch eine andere Überdeckung repräsentiert, so kann man annehmen, dass es sich um eine Verfeinerung (im Sinne von es kommen offene Mengen hinzu) handelt und dann wie soeben schließen.

  2. Ist klar.
  3. Ist klar.
  4. Ist klar.
  5. Folgt aus Fakt.
  6. Es seien und homotope Wege mit dem gleichen Start- und Zielpunkt und sei

    eine Homotopie zwischen den Wegen. D.h. ist stetig und eingeschränkt auf den linken Rand des Quadrates gleich und eingeschränkt auf den rechten Rand gleich . Wegen der Kompaktheit von besitzt die offene Überdeckung , , eine endliche Teilüberdeckung. Daher gibt es auch eine Gittereinteilung des Quadrates in Teilquadrate der Seitenlänge derart, dass sie ganz in einem der liegen. Es ist also stets

    Wir verkleinern nochmal die Teilquadrate, um sicherzustellen, dass benachbarte Quadrat in einer der offenen Mengen landen. Um die Gleichheit zwischen und zu zeigen, können wir sukzessive Wege auf einem einzigen kleinen Quadrat abändern. Wir betrachten Wege der Form

    und den Übergang von nach . Es sei die offene Umgebung, in der das Rechteck landet, in dem sich die Abänderung des Weges abspielt. Diese offene Umgebung können wir als Teil einer topologischen Kette nehmen mit , die beide Wege umfasst. Da und Punkte gemeinsam haben und da eine einfache Wegverzweigung zusammenhängend ist, stimmen beide Auswertungen überein. Durch eine endlich Anzahl solcher kleinen Abwandlungen können wir in überführen.