Topologische Räume/Endliche Überlagerung/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Von (1) nach (2). Es sei kompakt mit dem Urbild . Es sei

eine offene Überdeckung. Zu jedem Punkt gibt es ein mit . Es sei und seien die weiteren Punkte, die auf abbilden. Zu den offenen Umgebungen gibt es eine offene Umgebung , über der trivialisiert und mit , wobei das Blatt zu bezeichnet. Diese offenen Mengen bilden eine verfeinerte Überdeckung der Ausgangsüberdeckung. Die bilden dann eine offene Überdeckung von und somit gibt es davon eine endliche Teilüberdeckung . Die zugehörigen Blätter bilden dann eine endliche Überdeckung von

Von (2) nach (3) ist klar.

Von (3) nach (1). Sei ein Punkt und seien die Urbildpunkte von . Zu jeden gibt es eine offene Umgebung , die homöomorph auf abbildet. Man betrachtet die offene Menge

und ersetzt die durch . Durch eine weitere Verkleinerung können wir erreichen, dass und damit auch die wegzusammenhängend ist. Wir behaupten, dass das Urbild von ist. Nehmen wir an, es gebe einen Punkt mit , der auf keinem liegt. Wir betrachten einen Verbindungsweg

von nach . Das Urbild von ist kompakt. Es enthält die kompakten Kopien innerhalb von . Zu gibt es eine offene Umgebung , die homöomorph nach abbildet und darin gibt es eine Liftung des Teilweges durch . Es sei das Supremum der reellen Zahlen , für die eine stetige Liftung mit definiert ist. Wegen Aufgabe ist die Liftung eindeutig und dieser Weg ist auf definiert. Aufgrund der Eigentlichkeit ist dies auch für definiert. Wegen der lokalen Homöomorphie gibt es bei eine offene Umgebung von , die homöomorph auf eine offene Teilmenge von abbildet und somit würde es eine weitere Fortsetzung des Liftungsweges geben. Also ist und somit endet die Liftung in einem der Punkte über , sagen wir in . Dann muss aber diese Liftung mit der Liftung innerhalb von übereinstimmen und damit ist selbst .