Topologische Räume/Endliche Überlagerung/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Von (1) nach (2). Es sei ${}T\subseteq X$ kompakt mit dem Urbild ${}S:=p^{-1}(T)$. Es sei

${}S\subseteq \bigcup _{i\in I}W_{i}\,$

eine offene Überdeckung. Zu jedem Punkt ${}y\in S$ gibt es ein ${}j(y)$ mit ${}y\in W_{j(y)}$. Es sei ${}y=y_{1}\in S$ und seien ${}y_{2},\ldots ,y_{n}$ die weiteren Punkte, die auf ${}x=p(y)$ abbilden. Zu den offenen Umgebungen ${}y_{k}\in W_{j(y_{k})}$ gibt es eine offene Umgebung ${}x\in U_{x}\subseteq X$, über der ${}p$ trivialisiert und mit ${}y_{k}\in V_{k}\subseteq p^{-1}(U_{x})\cap W_{j(y_{k})}$, wobei ${}V_{k}$ das Blatt zu ${}y_{k}$ bezeichnet. Diese offenen Mengen bilden eine verfeinerte Überdeckung der Ausgangsüberdeckung. Die ${}U_{x}$ bilden dann eine offene Überdeckung von ${}T$ und somit gibt es davon eine endliche Teilüberdeckung ${}U_{1},\ldots ,U_{m}$. Die zugehörigen Blätter ${}V_{jk}$ bilden dann eine endliche Überdeckung von ${}S$

Von (2) nach (3) ist klar.

Von (3) nach (1). Sei ${}x\in X$ ein Punkt und seien ${}y_{1},\ldots ,y_{n}$ die Urbildpunkte von ${}x$. Zu jeden ${}y_{j}$ gibt es eine offene Umgebung ${}V_{j}$, die homöomorph auf ${}U_{j}$ abbildet. Man betrachtet die offene Menge

${}U:=\bigcap _{j\in J}U_{j}\,$

und ersetzt die ${}V_{j}$ durch ${}V_{j}\cap p^{-1}(U)$. Durch eine weitere Verkleinerung können wir erreichen, dass ${}U$ und damit auch die ${}V_{j}$ wegzusammenhängend ist. Wir behaupten, dass ${}\biguplus _{j\in J}V_{j}$ das Urbild von ${}U$ ist. Nehmen wir an, es gebe einen Punkt ${}y$ mit ${}p(y)\in U$, der auf keinem ${}V_{j}$ liegt. Wir betrachten einen Verbindungsweg

$\gamma \colon [0,1]\longrightarrow U$

von ${}p(y)$ nach ${}x$. Das Urbild von ${}\gamma ([0,1])$ ist kompakt. Es enthält die kompakten Kopien innerhalb von ${}V_{j}$. Zu ${}y$ gibt es eine offene Umgebung ${}V$, die homöomorph nach ${}X$ abbildet und darin gibt es eine Liftung des Teilweges durch ${}y$. Es sei ${}s$ das Supremum der reellen Zahlen ${}t$, für die eine stetige Liftung ${}{\tilde {\gamma }}$ mit ${}{\tilde {\gamma }}(0)=y$ definiert ist. Wegen Aufgabe ist die Liftung eindeutig und dieser Weg ist auf ${}[0,s[$ definiert. Aufgrund der Eigentlichkeit ist dies auch für ${}s$ definiert. Wegen der lokalen Homöomorphie gibt es bei ${}s<1$ eine offene Umgebung von ${}{\tilde {\gamma }}(s)$, die homöomorph auf eine offene Teilmenge von ${}X$ abbildet und somit würde es eine weitere Fortsetzung des Liftungsweges geben. Also ist ${}s=1$ und somit endet die Liftung in einem der Punkte über ${}x$, sagen wir in ${}y_{1}$. Dann muss aber diese Liftung mit der Liftung innerhalb von ${}V_{1}$ übereinstimmen und damit ist selbst ${}y\in V_{1}$.

Zur bewiesenen Aussage