Torus/Riemannsche Struktur/Eingebettete Realisierung/Krümmung/Aufgabe

Wir betrachten den Torus ${}S^{1}\times S^{1}$ einerseits mit der durch die Produktstruktur (und der Einbettung ${}S^{1}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$, siehe Aufgabe und Aufgabe) gegebenen riemannschen Struktur und andererseits mit der eingebetteten Realisierung

${}T={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R\right)}^{2}+z^{2}=r^{2}\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,$

mit der induzierten riemannschen Struktur. Vergleiche die Krümmungsoperatoren für diese beiden Strukturen.

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